蒙地卡羅模擬是用亂數試算數千種可能的未來，看看結果會分散到什麼程度的方法。用在定期定額上，它回答「20年後會有多少錢？」時，給的不是單一金額，而是一個範圍：居中的情況大約多少，最差的十分之一大約多少。這個範圍有多寬，很大程度取決於未來報酬是怎麼產生的。模擬不是預測，而是在你給定的前提下，描繪出可能發生的情況。
固定報酬率試算忽略了什麼
固定報酬率的複利計算機讓資金每個月都以相同的比率成長。年報酬率5%，就是每個月固定成長約0.41%。在這個前提下，壞年份何時出現、持續幾個月，都不影響結果。
真實市場是一路漲漲跌跌，才走到同樣5%的平均。在投入金額還少的頭幾年大跌，和在餘額已經很大的最後幾年出現同樣的跌幅，最後的金額會差很多。固定報酬率的單一一條線，畫不出這個差別。
同一個每月定期定額計畫，畫成一條固定報酬率的線，以及八條漲漲跌跌的路徑。此為示意圖，並非模擬結果。
蒙地卡羅模擬分三個步驟
- 決定每月報酬怎麼產生：訂出規則，例如資金平均成長多少、上下波動多大。
- 重複數千次：依照這些規則，用亂數抽出每個月的報酬，把餘額一路算到最後。每一個這樣的未來稱為一條「路徑」。可以想成把骰子擲上數千次。
- 把結果當成分布來看：把所有路徑的最終餘額排在一起，讀出居中的結果、偏低的結果，以及達成目標的路徑比例。
計算本身很單純。結果是否可靠，幾乎完全取決於第一步。
產生未來報酬的方法主要有三種
- 從常態分布抽取：只設定平均值和波動大小，每個月各自獨立抽取。這是最簡單的方法，但真實市場中那種單月大跌在這裡很少出現，壞月份也不會像真實市場那樣聚集出現。偏低的結果和途中的下跌往往看起來太樂觀。
- 重新抽取過去的月份：從過去實際的月報酬中，每個月隨機挑一個。大跌的月份會和歷史上一樣常出現，但月份順序被打亂，像崩盤連續好幾個月這種走勢就被打散了。
- 在市場狀態之間切換：讓市場在價格溫和變動的平靜狀態，和劇烈波動的動盪狀態之間來回。一旦進入動盪狀態，模型往往會停留一段時間，因此壞月份容易聚集出現，市場動盪時股票類資產也更容易一起下跌。這類模型稱為狀態轉換模型。
三種方法都以過去的資料為基礎，差別在於把過去的哪些特徵帶進未來。
如何解讀結果，以及兩個常見誤解
- 中位數：所有路徑正中間的結果。一半的路徑結束在它之上，一半在它之下。平均值會被少數極好的路徑拉高，中位數比它更接近典型的結果。
- 第10到第90百分位區間：每10條路徑中，有1條結束在區間下緣之下，1條結束在上緣之上。區間越寬，同一個計畫的結果就越可能大不相同。
- 達成目標的路徑比例：例如「90%的路徑資金沒有用完」。
常見的誤解有兩個。第一是把中位數當成將會發生的結果：以中位數做計畫，有一半的路徑達不到。第二是把「90%」當成將來會發生的機率。它的意思是模型中有90%的路徑如此；前提一變，比例也會跟著變。
前提假設對結果影響最大
- 假設的報酬率：每年多或少一個百分點，20年後的金額就差很多。
- 歷史資料的期間：只用碰巧表現好的期間，模型就會假設好光景會持續下去。歷史越短，連平均報酬率的估計本身都越不確定。
- 連續虧損與資產連動：模型是否讓壞月份聚集出現、讓股票類資產在動盪市場中一起下跌，會改變途中下跌的深度，也會稍微改變區間的下緣。
- 費用、稅金、通膨與匯率：有沒有計入，會改變你實際能留下多少錢。
使用模擬器時，先確認這些前提，再看它的數字。
compoundsim的模擬器怎麼做
蒙地卡羅投資模擬器用第三種方法，也就是切換市場狀態，產生1,000條路徑。它每個月依一定的機率在兩種狀態之間移動：價格溫和變動的平靜狀態，以及劇烈波動的動盪狀態。在用全部歷史資料（S&P 500自1993年起）估計的模型中，以美元計的S&P 500在平靜狀態傾向上漲，在動盪狀態傾向下跌。兩種狀態如下：
| 指標 | 平靜狀態 | 動盪狀態 |
|---|
| 長期而言所占的月份比例 | 約85% | 約15% |
| 進入後平均停留時間 | 約18.6個月 | 約3.4個月 |
| S&P 500波動率（美元計，年化） | 約13% | 約21% |
以美元計，動盪狀態下S&P 500的波動大約是平靜狀態的1.6倍，而且這個狀態一旦開始，平均會停留約3.4個月。所以有些路徑會接連虧損、中途跌得很深。
一條路徑，動盪狀態的月份以灰色標示：在動盪狀態下，下跌的月份較多，跌幅也較大。此為示意圖，並非模擬結果。
市場狀態由所有資產共用，資產之間的連動方式也隨之改變。相關係數接近1，表示兩項資產朝同一方向變動；接近0，表示各自獨立變動。
| 與S&P 500的相關係數 | 平靜狀態 | 動盪狀態 |
|---|
| 美國以外已開發市場股票 | 0.80 | 0.91 |
| 新興市場股票 | 0.67 | 0.82 |
| 美國長期公債 | -0.04 | -0.01 |
| 黃金 | 0.05 | -0.07 |
在動盪狀態下，美國與美國以外的股票連動得更加緊密。各組資產的相關性可以在主要指數相關性矩陣查看，資產組合起來的結果則可以在投資組合模擬器試算。
其他細節：
- 歷史資料的期間：可以自行選擇。每條路徑會在歷史資料能解釋的範圍內，使用略有不同的平均報酬率與狀態切換機率；歷史越短，這些差異的空間越大，區間也往往越寬。可以比較最近5年的歷史資料與全部歷史的結果。
- 資料：除比特幣外，使用追蹤各指數的美元計價ETF經股息調整的價格（S&P 500為SPY）。ETF本身的費用已反映在這些價格中。
- 匯率與通膨：結果可以用其他貨幣顯示，繁體中文頁面預設以新台幣顯示。此時預設會計入新台幣對美元的匯率波動，並去除匯率的長期趨勢，因為沒有人知道這個趨勢是否會延續。切換到「實質」檢視，就能以扣除通膨後的現值看結果（預設通膨率為每年2%）。
- 亂數種子（決定亂數從哪裡開始）：你開啟頁面當天的日期（UTC）。同一天開啟的人看到的結果都一樣，隔天再開啟，就會重新抽出1,000條新的路徑。
蒙地卡羅模擬無法告訴你的事
- 前所未見的市場：每種方法都以過去的資料為基礎，從未發生過的市場型態不會出現。
- 持續數年的低迷：本站模型中的動盪狀態通常幾個月內就結束，所以像2007到2009年那樣的低迷，出現的頻率比歷史上低。偏低的結果可能過於樂觀。
- 稅金與你自己的成本：不包含稅金，也不包含你帳戶的成本，例如交易手續費。
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