蒙地卡羅模擬的計算公式，與1,000條路徑的誤差

蒙地卡羅模擬是把一個隨機試驗重複很多次，再統計結果怎麼分布，藉此求出答案的方法。^[1]用在投資計畫上，一次試驗就是用一條逐月更新餘額的公式（遞迴式）往前推，每個月的報酬率用亂數抽出，一直推到最後一個月。在compoundsim中，20年的計畫每條路徑要把這個月度步驟走240次，模擬器一共跑1,000條路徑。用1,000條路徑算出的中位數，換一組亂數也只會變動幾個百分比，比例的變動同樣不大。真正讓結果大幅改變的，是每個月的報酬率怎麼抽。

本文先不談報酬率模型，而是用公式寫出所有模型共用的計算。不用公式的說明，請見蒙地卡羅模擬是什麼。

餘額依逐月的遞迴式決定

把月份編號為 $t = 1, 2, \dots, T$，第 $t$ 個月月底的餘額記為 $W_t$，每月投入記為 $c$。固定報酬率的複利計算機把年報酬率 $r$ 當作有效年利率，換算成每個月的成長倍數，每個月都套用同一個數：

$$W_t = W_{t-1}\,(1+r)^{1/12} + c$$

蒙地卡羅模擬則把其中的 $(1+r)^{1/12}$ 換成每個月用亂數抽出的成長倍數 $e^{X_t}$，$X_t$ 是當月的對數報酬率（見下一節）：

$$W_t = W_{t-1}\,e^{X_t} + c, \qquad W_0 = \text{初始投資額}$$

每月投入在月底、當月漲跌之後才加入，順序和固定報酬率的計算相同；把隨機性拿掉，兩者的結果就一致。20年的計畫 $T = 240$，把這240個月走完一次就是一條路徑。模擬器計算1,000條。

提領模擬器的順序相反：月初先提領，剩下的再成長。提領金額 $d_t$ 從第一年金額的十二分之一開始，每個月依通膨調高：

$$W_t = (W_{t-1} - d_t)\,e^{X_t}$$

某個月提領後餘額降到零或以下，這條路徑就算資金用完，之後一直維持零。

蒙地卡羅模擬器選擇「實質」時，以及提領模擬器在任何時候，都會把餘額除以當時的物價水準。設預期通膨率為每年 $i$（預設2%），第 $t$ 個月的實質餘額就是 $W_t / (1+i)^{t/12}$。物價按這個固定比率上漲，不使用亂數。

用對數報酬率看，中位數為什麼低於平均

設 $R_t$ 為當月的簡單報酬率（5%記為0.05），它的對數報酬率是 $X_t = \ln(1+R_t)$。模擬器的模型，是把過去的月報酬率換成對數後估計出來的。換成對數之後，好幾個月的成長就能寫成加法。只有初始投資額、沒有每月投入時：

$$W_T = W_0 \exp\!\Big(\sum_{t=1}^{T} X_t\Big)$$

月數越多，$X_t$ 的總和越接近左右對稱的分布。記 $\mathrm{E}[\cdot]$ 為期望值（平均），這個總和的中位數約為 $T\,\mathrm{E}[X_t]$，所以餘額的中位數約為 $W_0\,e^{T\,\mathrm{E}[X_t]}$。但 $e^x$ 是向上彎的曲線，所以餘額的平均會比這個數高（$\mathrm{E}[e^{X}] \ge e^{\mathrm{E}[X]}$）。少數表現非常好的路徑會把平均往上拉，中位數卻幾乎不動。

中位數就是不太受這幾條路徑左右的數字。簡單平均報酬率和資金實際成長速度之間的差距（波動拖累），在平均報酬率不等於資金成長的速度中說明。有每月投入時，公式就不是這個形式，但基於同樣的原因，平均仍然會高於中位數。

中位數、區間與成功率，都從1,000條路徑算出

把1,000條路徑在某個月的餘額由小到大排列，記為 $W_{(1)} \le W_{(2)} \le \dots \le W_{(N)}$，$N = 1000$。第 $q$ 百分位數取排名 $h = (q/100)(N-1)$ 處的值；$h$ 不是整數時，就在兩側的兩條路徑之間用直線內插（$\lfloor h \rfloor$ 表示把 $h$ 無條件捨去成整數）。統計軟體計算百分位數的方法有好幾種，依照常見的分類，這是「定義7」的算法。^[2]寫成公式：

$$\hat x_q = W_{(\lfloor h \rfloor + 1)} + (h - \lfloor h \rfloor)\big(W_{(\lfloor h \rfloor + 2)} - W_{(\lfloor h \rfloor + 1)}\big)$$

中位數是 $q = 50$。圖表上外側的區間是 $q = 10$ 到 $q = 90$，內側的區間是 $q = 25$ 到 $q = 75$。每個月的區間都是分開計算的，所以區間的邊線並不是沿著某一條路徑走。

比例是符合某個條件的路徑數除以 $N$。提領模擬器的成功率，就是資金撐到最後的路徑比例：

$$\hat p = \frac{\text{符合條件的路徑數}}{N}$$

回撤是餘額比先前達到的最高點低了多少。最高點從初始投資額開始算，餘額也包含已經投入的錢（看實質金額時，以實質餘額衡量）：

$$D_t = \frac{W_t}{\max\big(W_0, \max_{s \le t} W_s\big)} - 1$$

一條路徑上最深的 $D_t$，就是這條路徑的最大回撤。

這裡的 $\hat x_q$ 和 $\hat p$，描述的都是模型產生的1,000條路徑。模型符不符合現實，路徑再多也看不出來。

用1,000條路徑，中位數會變動幾個百分比

路徑（試驗次數）有限，所以換一個亂數的起點（種子），結果就會稍有不同。變動有多大，可以用公式估計。

比例 $\hat p$ 是把機率為 $p$ 的事件試了 $N$ 次後數出來的，所以它的標準差（標準誤）是

$$\mathrm{SE}(\hat p) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}$$

成功率為90%時，這個值是 $\sqrt{0.9 \times 0.1 / 1000} \approx 0.0095$，標準誤約0.95個百分點。在上下約兩倍的範圍內，也就是大約88%到92%，成功率可能只因為偶然而變動。

百分位數也有類似的公式。設 $f(x_q)$ 為餘額分布在該百分位數處的密度（路徑在這個金額附近聚集得有多密），則

$$\mathrm{SE}(\hat x_q) \approx \frac{1}{f(x_q)}\sqrt{\frac{q'(1-q')}{N}}, \qquad q' = q/100$$

在路徑稀疏的尾端，$f$ 較小，誤差就較大。兩個公式都按 $\tfrac{1}{\sqrt{N}}$ 縮小，所以要讓誤差減半，路徑數必須變成四倍。

為了看出實際的大小，我們把和蒙地卡羅模擬器相同的計算跑了50次，只改變種子。條件是：S&P 500（SPY，股息再投入，模型以1993年以來的全部歷史資料估計），以美元計的名目金額，每月1美元、持續20年（共投入240美元）。

變動是50次結果的標準差除以它們的平均。用1,000條路徑時，20年後的中位數每次大約會變動2.5%，所以1,000條路徑的中位數，最好當成帶有這幾個百分比誤差的數字來讀。

比例也用同樣的方式檢驗：最大回撤達−30%或更深的路徑比例，50次的平均是21.3%。下表的標準差，是這個比例本身變動的幅度，單位是百分點。

就比例而言，實測的變動和公式幾乎一致。路徑減為四分之一，大多數指標的變動約變成兩倍。不過，用50次結果算出的標準差本身就有大約一成的不確定性，兩個標準差的比值更不確定，所以有些列會明顯偏離兩倍，例如第一張表的第10百分位那一列。

每條路徑會先自行重新抽出模型的平均報酬率和狀態切換的機率，再抽各個月份。路徑之間仍然彼此獨立，所以 $\tfrac{1}{\sqrt{N}}$ 的關係照樣成立。

種子是當天的日期

模擬器的種子，是開啟頁面當天的日期（UTC）寫成的八位數 $\text{YYYYMMDD}$。一個叫mulberry32的小型虛擬亂數產生器，把它轉成 $[0, 1)$ 上均勻分布的亂數，從第一條路徑開始依序使用。同一天、同樣的設定，不管誰開啟頁面，都會得到同樣的1,000條路徑。

換一天開啟頁面，種子就跟著改變，頁面會重新抽出1,000條路徑（頁面一直開著的話，過了午夜種子也不會變）。上面的實驗在50次之間也只改變了種子，所以中位數在兩天之間變動幾個百分比，仍在那裡測到的變動範圍內。比這大得多的差異，來自改變設定、改變模型估計所用的歷史資料，或是資料更新後模型重新估計。

資產組合與貨幣，都化為一個成長倍數

單一資產時，遞迴式中的 $e^{X_t}$ 來自該資產的月對數報酬率 $X_t$。資產組合則設資產 $a$ 的比例為 $w_a$（比例合計為1），每個月再平衡回這些比例，成長倍數為

$$G_t = \sum_a w_a\, e^{X_{a,t}}$$

投資組合模擬器（不使用融資買進時）和提領模擬器，都把這個 $G_t$ 代替 $e^{X_t}$ 放進遞迴式。

以美元以外的貨幣計算、並開啟「計入匯率波動」（預設）時，該貨幣一單位的美元價值在當月的變化，會和各資產一起從模型中抽出。把它的對數變化記為 $X_{u,t}$，以該貨幣計的成長倍數就是 $G_t / e^{X_{u,t} - m_u}$，其中 $m_u$ 是以歷史資料估計的模型中，匯率長期的平均變化。匯率的長期趨勢不一定會延續，所以把它扣掉，只留下波動和波動發生的時間。

$X_t$ 和 $X_{a,t}$ 如何在平靜狀態與動盪狀態之間切換著抽出，請見蒙地卡羅模擬是什麼。

有些誤差不會隨路徑增加而縮小

上面的變動，來自用給定的模型跑有限條路徑，路徑越多就越小。但有兩件事，不管跑多少條路徑都不會改變。

一是報酬率模型。$X_t$ 從哪一種模型抽出，會改變分布本身；以歷史資料估計的模型，很少產生和歷史上任何行情都不像的市場。

二是計算中沒有納入的東西。稅金、交易手續費和帳戶費用都沒有扣除（ETF本身的費用率已反映在報酬中）。每月投入金額始終不變，物價也以固定比率上漲。

這些前提對結果的影響，遠大於1,000條路徑那幾個百分比的變動。在和上面實驗相同的條件下，只改變模型估計所用的歷史資料，用同一個種子各跑一次1,000條路徑，20年後的中位數在全部歷史下是投入本金的3.4倍，在最近5年下是4.1倍：差距遠大於路徑數造成的變動（2.5%）。