Monte-Carlo-Simulation für den ETF-Sparplan einfach erklärt
Wie eine Monte-Carlo-Simulation für monatliches Sparen funktioniert: wie künftige Renditen gezogen werden, wie man das Ergebnis liest und warum die Annahmen zählen.
Aktualisiert
Eine Monte-Carlo-Simulation spielt mit Zufallszahlen Tausende mögliche Zukünfte durch und zeigt, wie weit die Ergebnisse auseinanderliegen. Für einen monatlichen Sparplan beantwortet sie die Frage „Wie viel habe ich in 20 Jahren?“ nicht mit einem Betrag, sondern mit einer Spanne: ungefähr so viel in der Mitte, ungefähr so viel im schlechtesten von zehn Fällen. Wie breit diese Spanne ist, hängt stark davon ab, wie die künftigen Renditen gezogen wurden. Eine Simulation ist keine Prognose. Sie zeigt, was unter den Annahmen passieren könnte, die du ihr gibst.
Was eine feste Rendite auslässt
Ein Zinseszinsrechner mit fester Rendite lässt dein Geld jeden Monat mit demselben Satz wachsen. Bei 5 % im Jahr sind das etwa 0,41 %, Monat für Monat. Unter dieser Annahme spielt es keine Rolle, wann ein schlechtes Jahr kommt oder wie lange es dauert.
Echte Märkte können im Schnitt auf dieselben 5 % kommen und dabei steigen und fallen. Ein großer Einbruch in den ersten Jahren, wenn du erst wenig eingezahlt hast, führt zu einem ganz anderen Endbetrag als derselbe Einbruch in den letzten Jahren, wenn das Guthaben groß ist. Eine einzige Linie mit fester Rendite kann diesen Unterschied nicht zeigen.
Derselbe monatliche Sparplan als eine Linie mit fester Rendite und als acht Pfade, die steigen und fallen. Eine Illustration, kein Simulationsergebnis.
Eine Monte-Carlo-Simulation hat drei Schritte
Festlegen, wie die Monatsrenditen gezogen werden: Regeln dafür, wie stark das Geld im Schnitt wächst und wie stark es schwankt.
Tausendfach wiederholen: Die Rendite jedes Monats wird nach diesen Regeln zufällig gezogen und das Guthaben Monat für Monat bis zum Ende des Plans fortgeschrieben. Jeder Durchlauf ist eine mögliche Zukunft und heißt Pfad. Man würfelt also Tausende Male neu.
Die Ergebnisse als Verteilung lesen: Die Endguthaben aller Pfade werden sortiert. Daraus liest man das mittlere Ergebnis, das untere Ende und den Anteil der Pfade ab, die ein Ziel erreicht haben.
Die Rechnung selbst ist einfach. Wie weit man den Ergebnissen trauen kann, hängt fast nur vom ersten Schritt ab.
Künftige Renditen lassen sich auf drei Arten ziehen
Aus einer Normalverteilung: Man wählt nur einen Durchschnitt und eine Schwankungsbreite und zieht jeden Monat unabhängig. Das ist die einfachste Methode. Sie erzeugt aber kaum die sehr großen Monatsverluste, die echte Märkte haben, und sie bildet nicht ab, dass große Schwankungen an echten Märkten gehäuft auftreten: Auf einen unruhigen Monat folgen eher weitere unruhige Monate.[1] Die schwachen Ergebnisse und die Einbrüche unterwegs sehen deshalb eher zu gut aus.
Durch Ziehen vergangener Monate: Für jeden Monat wird zufällig eine der tatsächlichen Monatsrenditen der Vergangenheit gewählt.[2] Große Verluste kommen so oft vor wie in der Historie, aber das Mischen der Monate zerreißt Serien wie einen Crash, der mehrere Monate dauert.[3]
Durch Wechsel zwischen Marktregimen: Das Modell wechselt zwischen einem ruhigen Regime, in dem sich die Kurse sanft bewegen, und einem wilden Regime, in dem sie stark schwanken. Ist das Modell einmal im wilden Regime, bleibt es eher eine Weile dort. Schlechte Monate kommen so eher gehäuft, und Aktien fallen in unruhigen Märkten eher gemeinsam.[4] Solche Modelle heißen Regime-Switching-Modelle.[5]
Alle drei beruhen auf Daten der Vergangenheit. Sie unterscheiden sich darin, welche Eigenschaften der Vergangenheit sie in die Zukunft mitnehmen.
Ergebnisse lesen, und zwei häufige Fehler
Median: das mittlere Ergebnis aller Pfade. Die Hälfte der Pfade endet darüber, die Hälfte darunter. Er liegt näher an einem typischen Ergebnis als der Durchschnitt, weil einige sehr gute Pfade den Durchschnitt nach oben ziehen.
Das Band vom 10. bis zum 90. Perzentil: Einer von zehn Pfaden endet unter seiner unteren Kante, einer von zehn über der oberen. Je breiter das Band, desto unterschiedlicher kann derselbe Plan ausgehen.
Anteil der Pfade, die ein Ziel erreichen: zum Beispiel „Das Geld reichte in 90 % der Pfade“.
Zwei Fehler kommen oft vor. Der erste: den Median als das zu lesen, was passieren wird. Wer mit dem Median plant, liegt in der Hälfte der Pfade darunter. Der zweite: „90 %“ als die Wahrscheinlichkeit zu lesen, dass es in der Wirklichkeit so kommt. Gemeint ist, dass 90 % der Pfade des Modells so verlaufen sind. Ändern sich die Annahmen, ändert sich auch der Anteil.
Die Ergebnisse hängen stark von den Annahmen ab
Die angenommene Rendite: Ein Prozentpunkt mehr oder weniger im Jahr macht beim Guthaben nach 20 Jahren viel aus.
Der Zeitraum der Historie: Wird das Modell nur an einen Zeitraum angepasst, der zufällig gut lief, nimmt es an, dass die guten Zeiten weitergehen. Je kürzer die Historie, desto unsicherer wird schon die Schätzung der Durchschnittsrendite.
Verlustserien und Anlagen, die sich gemeinsam bewegen: Ob das Modell schlechte Monate gehäuft auftreten und Aktien in unruhigen Märkten gemeinsam fallen lässt, verändert, wie tief die Einbrüche unterwegs sind, und in geringerem Maß das untere Ende des Bands.
Kosten, Steuern, Inflation und Währung: Ob sie enthalten sind, verändert, wie viel dir laut Ergebnis tatsächlich bleibt.
Prüfe bei einem Simulator diese Annahmen, bevor du auf seine Zahlen schaust.
So macht es der Simulator von compoundsim
Der Monte-Carlo-Simulator für Sparpläne zieht 1.000 Pfade nach der dritten Methode, dem Regimewechsel. Jeden Monat kann er mit festen Wahrscheinlichkeiten zwischen einem ruhigen Regime, in dem sich die Kurse sanft bewegen, und einem wilden Regime wechseln, in dem sie stark schwanken. Im Modell, das an die gesamte Historie angepasst ist (den S&P 500 seit 1993), steigt der S&P 500 in US-Dollar im ruhigen Regime eher und fällt im wilden eher. Die beiden Regime sehen so aus:
Kennzahl
Ruhiges Regime
Wildes Regime
Langfristiger Anteil der Monate
Etwa 85 %
Etwa 15 %
Durchschnittliche Dauer nach dem Eintritt
Etwa 18,6 Monate
Etwa 3,4 Monate
Volatilität des S&P 500 (USD, p. a.)
Etwa 13 %
Etwa 21 %
In US-Dollar schwankt der S&P 500 im wilden Regime etwa 1,6-mal so stark wie im ruhigen, und hat dieses Regime einmal begonnen, dauert es im Schnitt etwa 3,4 Monate. Deshalb erleiden manche Pfade einen Verlust nach dem anderen und fallen unterwegs weit.
Ein Pfad, seine Monate im wilden Regime grau hinterlegt. Im wilden Regime sind Verlustmonate häufiger und die Verluste größer als im ruhigen. Eine Illustration, kein Simulationsergebnis.
Alle Anlagen teilen sich dasselbe Regime, und wie sie sich gemeinsam bewegen, ändert sich von einem Regime zum anderen. Eine Korrelation nahe 1 heißt, dass sich zwei Anlagen in dieselbe Richtung bewegen, nahe 0, dass sie sich unabhängig voneinander bewegen.
Der Zeitraum der Historie: Du kannst ihn wählen. Jeder Pfad variiert die Durchschnittsrenditen und die Wechselwahrscheinlichkeiten leicht, innerhalb dessen, was mit der Historie vereinbar ist. Eine kürzere Historie lässt mehr Spielraum, sodass das Band eher breiter wird. Vergleiche die letzten 5 Jahre der Historie mit der gesamten Historie, um den Unterschied zu sehen.
Die Daten: Außer bei Bitcoin steht für jeden Index ein US-Dollar-ETF, der ihn abbildet, mit dividendenbereinigten Kursen (SPY für den S&P 500). Die laufenden Kosten der ETFs stecken bereits in diesen Kursen.
Währung und Inflation: Die deutsche Seite zeigt die Ergebnisse standardmäßig in Euro (Franken und andere Währungen sind wählbar) und rechnet dann die Schwankungen des Euro zum Dollar ein. Den langfristigen Trend des Wechselkurses nimmt der Simulator heraus, weil niemand weiß, ob er anhält. Die Pfade weichen deshalb von der Dollartabelle oben ab. Rendite und Volatilität der gesamten Historie, die der Simulator angibt, beginnen in Euro erst 1999, wenn die Wechselkursdaten einsetzen. Wählst du eine Währung ohne Wechselkurshistorie, gelten die Dollarrenditen der Fonds, als hätte sich der Kurs nie bewegt. Die Ansicht „Real“ zeigt die Ergebnisse in heutiger Kaufkraft, nach Inflation (standardmäßig 2 % im Jahr).
Der Zufallsstartwert (Seed): das Datum (UTC), an dem du die Seite öffnest. Wer sie am selben Tag öffnet, sieht dieselben Ergebnisse; am nächsten Tag zieht sie 1.000 neue Pfade.
Was eine Monte-Carlo-Simulation nicht sagen kann
Märkte, wie es sie noch nie gab: Jede Methode beruht auf Daten der Vergangenheit, also kann eine Art von Markt, die es nie gab, nicht vorkommen.
Durststrecken, die Jahre dauern: Im Modell dieser Seite endet das wilde Regime meist nach wenigen Monaten. Eine lange Durststrecke wie 2007 bis 2009 kommt deshalb seltener vor, als die Historie nahelegt. Die schwachen Ergebnisse können zu optimistisch sein.
Steuern und deine eigenen Kosten: Steuern und die Kosten deines eigenen Depots, etwa Ordergebühren, sind nicht enthalten.
Quellen
Cont, R. (2001). Empirical properties of asset returns: Stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance, 1(2), 223–236. doi:10.1080/713665670
Efron, B. (1979). Bootstrap methods: Another look at the jackknife. The Annals of Statistics, 7(1), 1–26. doi:10.1214/aos/1176344552
Künsch, H. R. (1989). The jackknife and the bootstrap for general stationary observations. The Annals of Statistics, 17(3), 1217–1241. doi:10.1214/aos/1176347265
Ang, A. & Bekaert, G. (2002). International asset allocation with regime shifts. The Review of Financial Studies, 15(4), 1137–1187. doi:10.1093/rfs/15.4.1137
Hamilton, J. D. (1989). A new approach to the economic analysis of nonstationary time series and the business cycle. Econometrica, 57(2), 357–384. doi:10.2307/1912559
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