モンテカルロシミュレーションの計算式と、1,000本の誤差

モンテカルロシミュレーションとは、乱数を使った試行を何度も繰り返し、結果がどう分布するかを数えて答えを求める方法です。^[1]積立の場合は、乱数で作った毎月のリターンで残高を1か月ずつ更新する式（漸化式）を最後の月までたどり、それを何本も繰り返します。compoundsimでは1本のパスごとにこの式を240回（20年なら）たどり、それを1,000本繰り返します。1,000本で求めた中央値は乱数を変えても数%しか動かず、割合のぶれも小さく収まります。結果を大きく変えるのは本数ではなく、毎月のリターンをどう作るかのほうです。

この記事では、モデルがどうリターンを作るかには立ち入らず、どんなモデルを使っても共通する計算を式で追います。数式なしの説明は「積立のモンテカルロシミュレーションとは」にあります。

残高は1か月ずつの漸化式で決まる

月の番号を $t = 1, 2, \dots, T$、$t$ か月目の終わりの残高を $W_t$、毎月の積立額を $c$ とします。固定利回りの複利計算では、年率 $r$ を実効利回りとして月の増え方に直し、毎月同じだけ増やします。

$$W_t = W_{t-1}\,(1+r)^{1/12} + c$$

モンテカルロシミュレーションでは、この $(1+r)^{1/12}$ を、月ごとに乱数で引いた増え方 $e^{X_t}$ に置き換えます。$X_t$ はその月の対数リターン（次の節）です。

$$W_t = W_{t-1}\,e^{X_t} + c, \qquad W_0 = \text{初期投資額}$$

積立額は、その月の値動きのあとに月末で加わります。固定利回りの計算と同じ順番なので、乱数のぶれをなくせば両者は一致します。20年なら $T = 240$ で、これを1本のパスとして1,000本計算します。

取り崩しシミュレーターは順番が逆で、月初に引き出してから残りを増やします。引き出し額 $d_t$ は、初年度の年額の12分の1から始まり、毎月インフレ率の分だけ上がります。

$$W_t = (W_{t-1} - d_t)\,e^{X_t}$$

引き出したあとの残高が0以下になった月に、そのパスの資金は尽きたものとし、以後0のままにします。

モンテカルロシミュレーターでは「実質」を選んだとき、取り崩しシミュレーターでは常に、残高をその時点の物価で割ります。想定インフレ率を年 $i$（初期設定は2%）とすると、$t$ か月目の実質残高は $W_t / (1+i)^{t/12}$ です。物価の上がり方は一定率で、乱数は使いません。

対数リターンで考えると、中央値と平均の違いが見える

月の単純リターンを $R_t$（5%なら0.05）とすると、対数リターンは $X_t = \ln(1+R_t)$ です。シミュレーターのモデルは、過去の月次リターンを対数に直してから当てはめています。対数にすると、何か月分の増え方も足し算で書けます。積立をせず初期投資額だけのときは

$$W_T = W_0 \exp\!\Big(\sum_{t=1}^{T} X_t\Big)$$

です。$X_t$ の和は、月数が多いほど左右対称な分布に近づきます。$\mathrm{E}[\cdot]$ を期待値（平均）とすると、その中央値はおよそ $T\,\mathrm{E}[X_t]$ なので、残高の中央値はおよそ $W_0\,e^{T\,\mathrm{E}[X_t]}$ になります。一方、$e^x$ は大きいほうに曲がる関数なので、残高の平均はこれより大きくなります（$\mathrm{E}[e^{X}] \ge e^{\mathrm{E}[X]}$）。少数のとても良いパスは平均を押し上げますが、中央値はほとんど動かしません。

中央値は、この少数のパスに左右されにくい数字です。単純リターンの平均と実際に増える率の差（ボラティリティ・ドラッグ）は、「平均のリターンと、実際に増える率は違う」で説明しています。積立がある場合は式がこの形にはなりませんが、同じ理由で、平均は中央値より上に出ます。

1,000本の結果から中央値・帯・成功率を求める

1,000本のパスの、ある月の残高を小さい順に並べたものを $W_{(1)} \le W_{(2)} \le \dots \le W_{(N)}$（$N = 1000$）とします。$q$ パーセンタイルは、順位 $h = (q/100)(N-1)$ の位置の値です。$h$ が整数でなければ、前後の2本の間を直線で補います（$\lfloor h \rfloor$ は $h$ の小数点以下を切り捨てた整数です）。統計ソフトごとに異なるパーセンタイルの求め方を整理した分類では、「定義7」にあたる方法です。^[2]

$$\hat x_q = W_{(\lfloor h \rfloor + 1)} + (h - \lfloor h \rfloor)\big(W_{(\lfloor h \rfloor + 2)} - W_{(\lfloor h \rfloor + 1)}\big)$$

中央値は $q = 50$ です。グラフの外側の帯は $q = 10$ から $q = 90$、内側の帯は $q = 25$ から $q = 75$ です。帯は月ごとに別々に求めているので、帯の線は特定の1本のパスをたどったものではありません。

割合は、条件を満たしたパスの本数を数えて $N$ で割ります。取り崩しの成功率は、最後まで資金が尽きなかったパスの割合です。

$$\hat p = \frac{\text{条件を満たしたパスの本数}}{N}$$

ドローダウンは、残高がそれまでの最高値からどれだけ下にあるかです。最高値は初期投資額から始まり、積立で入れたお金も残高に含めて測ります（実質で見るときは実質残高で測ります）。

$$D_t = \frac{W_t}{\max\big(W_0, \max_{s \le t} W_s\big)} - 1$$

1本のパスの中で $D_t$ がいちばん深かった値が、そのパスの最大ドローダウンです。

ここで求めた $\hat x_q$ や $\hat p$ は、どれもモデルが作った1,000本についての値です。モデルが現実に合っているかどうかは、本数をいくら増やしても分かりません。

1,000本で、中央値は数%ぶれる

パスの本数（試行回数）が有限なので、乱数の出発点（シード）を変えると結果も少し変わります。このぶれの大きさは式で見積もれます。

割合 $\hat p$ は、確率 $p$ で起きることを $N$ 回試して数えた値なので、その標準偏差（標準誤差）は次のとおりです。

$$\mathrm{SE}(\hat p) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}$$

たとえば成功率が90%なら、$\sqrt{0.9 \times 0.1 / 1000} \approx 0.0095$ で、標準誤差は約0.95ポイントです。その2倍ほど上下、つまり88%から92%くらいまでは、本数による偶然で動きうるということです。

パーセンタイルにも同じような式があります。$f(x_q)$ を、そのパーセンタイルの位置での残高の分布の密度（その金額の近くにパスがどれだけ集まっているか）とすると、

$$\mathrm{SE}(\hat x_q) \approx \frac{1}{f(x_q)}\sqrt{\frac{q'(1-q')}{N}}, \qquad q' = q/100$$

です。パスがまばらな裾ほど $f$ が小さく、ぶれは大きくなります。どちらの式も $\tfrac{1}{\sqrt{N}}$ に比例するので、ぶれを半分にするには本数を4倍にする必要があります。

実際にどれくらいぶれるかを確かめるため、モンテカルロシミュレーターと同じ計算を、シードだけを変えて50回繰り返しました。条件は、S&P500（SPY、配当込み、1993年以降の全期間に当てはめたモデル）、ドル建ての名目、毎月1ドルを20年（元本240ドル）です。

ぶれは、50回の結果の標準偏差を平均で割ったものです。1,000本では、20年後の中央値が回によって2.5%ほど上下します。1,000本の中央値は、その数%の幅をもった値として読むのが妥当です。

割合でも確かめました。最大ドローダウンが−30%以下になったパスの割合は、50回の平均で21.3%でした。次の表の標準偏差は、この割合そのものが上下する幅（パーセントポイント）です。

割合では、実測と式の値がほぼ一致します。本数を4分の1にすると、多くの指標でぶれはおよそ2倍になります。ただし、50回から測った標準偏差にはそれ自体に1割ほどの誤差があり、2つの比にはさらに大きな誤差が乗るので、最初の表の下位10%の行のように、2倍から大きく外れる行も出ます。

1本ごとのパスは、モデルの平均リターンや局面の切り替わりやすさまで自分で引き直してから月を引きます。それでもパス同士は互いに独立なので、この $\tfrac{1}{\sqrt{N}}$ の関係はそのまま成り立ちます。

シードはその日の日付

シミュレーターのシードは、ページを開いた日の日付（UTC）を8桁の整数 $\text{YYYYMMDD}$ にしたものです。この数から mulberry32 という小さな擬似乱数生成器で $[0, 1)$ の一様乱数を作り、1本目のパスから順に使っていきます。同じ日に同じ条件で開けば、誰が開いても同じ1,000本になります。

別の日にページを開くとシードが変わり、新しい1,000本に引き直されます（開いたままなら、日付をまたいでも変わりません）。上の実験もシードだけを変えた50回なので、日が変わって中央値が数%動くのは、前の節で見たぶれの範囲です。それより大きな違いが出るのは、条件や過去データの期間を変えたときと、データの更新でモデルが当てはめ直されたときです。

資産の組み合わせや通貨は、1つの増え方にまとめる

漸化式の $e^{X_t}$ は、1つの資産なら、その資産の月の対数リターン $X_t$ から作ります。複数の資産を組み合わせる場合は、資産 $a$ の比率を $w_a$（合計1）として、毎月その比率に戻す（リバランスする）前提で次の増え方を使います。

$$G_t = \sum_a w_a\, e^{X_{a,t}}$$

ポートフォリオのシミュレーター（信用取引を使わない場合）と取り崩しシミュレーターは、この $G_t$ を $e^{X_t}$ の代わりに漸化式へ入れています。

ドル以外の通貨で見て「為替変動を含める」をオンにしている場合（初期設定）は、その通貨1単位のドルでの価値の月の変化も、資産と一緒にモデルから引きます。その対数変化を $X_{u,t}$ とすると、表示通貨での増え方は $G_t / e^{X_{u,t} - m_u}$ です。$m_u$ は、過去データに当てはめたモデルでの為替の長い目で見た平均の変化です。為替の長期的なトレンドが将来も続くとは限らないので、これを差し引き、上下の揺れとその時期だけを残しています。

$X_t$ や $X_{a,t}$ をどう引くか、つまり平常局面と荒れ局面を行き来させるモデルについては、「積立のモンテカルロシミュレーションとは」で説明しています。

本数を増やしても消えない誤差がある

ここまでのぶれは、モデルを決めたうえで本数が有限なことから来るもので、本数を増やせば小さくできます。本数をいくら増やしても変わらないものが2つあります。

1つはリターンの作り方です。$X_t$ をどんなモデルから引くかで分布そのものが変わります。過去データに当てはめたモデルからは、過去にない種類の相場は出てきにくくなります。

もう1つは、計算に入れていないものです。税金、売買手数料、口座の費用は引いていません（ETF自体の経費は値動きに含まれています）。積立額は期間中ずっと同じで、物価も一定率で上がる前提です。

1,000本の結果が数%ぶれることより、前提の違いのほうが結果をずっと大きく動かします。上の実験と同じ条件で、モデルを当てはめる過去データだけを変え、同じシードの1,000本を1回ずつ回すと、20年後の中央値は全期間で元本の3.4倍、直近5年で4.1倍でした。本数によるぶれ（2.5%）よりはるかに大きな差です。