ระดับกลาง

สูตรมอนติคาร์โล ซิมูเลชัน และความคลาดเคลื่อนของผลจาก 1,000 เส้นทาง

คณิตศาสตร์เบื้องหลังการจำลองมอนติคาร์โลของแผนลงทุนรายเดือน ทั้งสมการเวียนเกิดของยอดเงิน วิธีหาเปอร์เซ็นไทล์และอัตราความสำเร็จ และผลจาก 1,000 เส้นทางคลาดเคลื่อนได้แค่ไหน

อัปเดต 10 พ.ย. 2569

การจำลองมอนติคาร์โล (Monte Carlo simulation) คือวิธีหาคำตอบด้วยการทดลองแบบสุ่มซ้ำหลายครั้ง แล้วนับดูว่าผลลัพธ์กระจายตัวอย่างไร^[1] สำหรับแผนลงทุน การทดลองหนึ่งครั้งคือการคำนวณยอดเงินไปข้างหน้าทีละเดือนด้วยสูตรที่อัปเดตยอดเงินจากเดือนก่อน (สมการเวียนเกิด หรือ recursion) โดยสุ่มผลตอบแทนของแต่ละเดือน ไปจนถึงเดือนสุดท้าย ใน compoundsim เส้นทางหนึ่งเส้นคำนวณขั้นรายเดือนนี้ 240 ครั้งสำหรับแผน 20 ปี และเครื่องจำลองคำนวณ 1,000 เส้นทาง ค่ามัธยฐานที่ได้จาก 1,000 เส้นทางขยับเพียงไม่กี่เปอร์เซ็นต์เมื่อตัวเลขสุ่มเปลี่ยน สัดส่วนก็ขยับไม่มากเช่นกัน สิ่งที่เปลี่ยนผลลัพธ์ได้มากกว่านั้นมากคือวิธีสุ่มผลตอบแทนรายเดือน

บทความนี้ไม่ลงรายละเอียดของแบบจำลองผลตอบแทน แต่เขียนการคำนวณที่ทุกแบบจำลองใช้ร่วมกันออกมาเป็นสูตร ถ้าต้องการคำอธิบายเรื่องเดียวกันแบบไม่ใช้สูตร อ่านได้ที่มอนติคาร์โล ซิมูเลชันคืออะไร

ยอดเงินคำนวณทีละเดือนด้วยสมการเวียนเกิด

ให้เดือนมีหมายเลข $t = 1, 2, \dots, T$ ให้ $W_t$ เป็นยอดเงิน ณ สิ้นเดือนที่ $t$ และ $c$ เป็นเงินลงทุนรายเดือน เครื่องคำนวณดอกเบี้ยทบต้นแบบผลตอบแทนคงที่ ถืออัตราต่อปี $r$ เป็นอัตราที่ทบต้นครบปีแล้ว (effective rate) แปลงเป็นอัตราการเติบโตรายเดือน แล้วใช้ค่าเดียวกันทุกเดือน

W_t = W_{t-1}\,(1+r)^{1/12} + c

การจำลองมอนติคาร์โลเปลี่ยน $(1+r)^{1/12}$ เป็นตัวคูณการเติบโต $e^{X_t}$ ที่สุ่มใหม่ทุกเดือน โดย $X_t$ คือผลตอบแทนแบบลอการิทึม (log return) ของเดือนนั้น (หัวข้อถัดไป)

W_t = W_{t-1}\,e^{X_t} + c, \qquad W_0 = \text{เงินลงทุนเริ่มต้น}

เงินลงทุนรายเดือนเข้ามาตอนสิ้นเดือน หลังผลตอบแทนของเดือนนั้น ตามลำดับเดียวกับการคำนวณแบบผลตอบแทนคงที่ ถ้าตัดความสุ่มออก ทั้งสองแบบจะให้ผลตรงกัน แผน 20 ปีมี $T = 240$ การคำนวณผ่านครบทั้ง 240 เดือนหนึ่งรอบคือหนึ่งเส้นทาง และเครื่องจำลองคำนวณ 1,000 เส้นทาง

เครื่องจำลองการถอนใช้ ทำกลับลำดับกัน คือถอนเงินตอนต้นเดือนก่อน แล้วจึงให้ส่วนที่เหลือเติบโต ยอดถอน $d_t$ เริ่มจากหนึ่งในสิบสองของยอดถอนปีแรก และเพิ่มขึ้นตามเงินเฟ้อทุกเดือน

W_t = (W_{t-1} - d_t)\,e^{X_t}

เดือนแรกที่การถอนทำให้ยอดเงินเหลือศูนย์หรือต่ำกว่า ถือว่าเส้นทางนั้นเงินหมด และยอดเงินจะอยู่ที่ศูนย์ต่อไป

เครื่องจำลองมอนติคาร์โลเมื่อเลือกมุมมอง “ที่แท้จริง” และเครื่องจำลองการถอนใช้ทุกครั้ง จะหารยอดเงินด้วยระดับราคาสินค้า ณ เวลานั้น ถ้าอัตราเงินเฟ้อที่สมมติคือ $i$ ต่อปี (ค่าเริ่มต้น 2%) ยอดเงินที่แท้จริงในเดือนที่ $t$ คือ $W_t / (1+i)^{t/12}$ ราคาสินค้าเพิ่มขึ้นในอัตราคงที่นี้ ไม่มีตัวเลขสุ่มเข้ามาเกี่ยว

ผลตอบแทนแบบลอการิทึมอธิบายว่าทำไมค่ามัธยฐานต่ำกว่าค่าเฉลี่ย

ถ้า $R_t$ คือผลตอบแทนอย่างง่ายของเดือน (0.05 สำหรับ 5%) ผลตอบแทนแบบลอการิทึมคือ $X_t = \ln(1+R_t)$ แบบจำลองของเครื่องจำลองปรับให้เข้ากับผลตอบแทนรายเดือนในอดีตที่แปลงเป็นลอการิทึมแล้ว ในรูปลอการิทึม การเติบโตตลอดหลายเดือนกลายเป็นผลบวก เมื่อมีเงินลงทุนเริ่มต้นและไม่มีเงินลงทุนรายเดือน

W_T = W_0 \exp\!\Big(\sum_{t=1}^{T} X_t\Big)

ผลรวมของ $X_t$ จะเข้าใกล้การแจกแจงที่สมมาตรมากขึ้นเมื่อจำนวนเดือนเพิ่มขึ้น ถ้าเขียน $\mathrm{E}[\cdot]$ แทนค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) ค่ามัธยฐานของผลรวมนี้จะอยู่ราว $T\,\mathrm{E}[X_t]$ และค่ามัธยฐานของยอดเงินอยู่ราว $W_0\,e^{T\,\mathrm{E}[X_t]}$ แต่ $e^x$ โค้งขึ้น ค่าเฉลี่ยของยอดเงินจึงออกมาสูงกว่านั้น ( $\mathrm{E}[e^{X}] \ge e^{\mathrm{E}[X]}$ ) เส้นทางที่ดีมากเพียงไม่กี่เส้นดึงค่าเฉลี่ยขึ้น แต่แทบไม่ขยับค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐานจึงเป็นตัวเลขที่เส้นทางไม่กี่เส้นนั้นแทบไม่มีผล ส่วนต่างระหว่างผลตอบแทนเฉลี่ยอย่างง่ายกับอัตราที่เงินเติบโตจริง (ผลฉุดจากความผันผวน หรือ volatility drag) อธิบายไว้ในผลตอบแทนเฉลี่ยไม่ใช่อัตราที่เงินของคุณเติบโต เมื่อมีเงินลงทุนรายเดือน สูตรจะไม่อยู่ในรูปนี้แล้ว แต่ค่าเฉลี่ยก็ยังอยู่สูงกว่าค่ามัธยฐานด้วยเหตุผลเดียวกัน

ค่ามัธยฐาน แถบ และอัตราความสำเร็จนับจาก 1,000 เส้นทาง

เรียงยอดเงินของ 1,000 เส้นทางในเดือนหนึ่งจากน้อยไปมาก $W_{(1)} \le W_{(2)} \le \dots \le W_{(N)}$ โดย $N = 1000$ เปอร์เซ็นไทล์ที่ $q$ คือค่าที่ลำดับ $h = (q/100)(N-1)$ ถ้า $h$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม จะอ่านค่าจากเส้นตรงที่ลากระหว่างสองเส้นทางที่อยู่ติดกันสองข้าง ( $\lfloor h \rfloor$ คือ $h$ ที่ปัดเศษลงเป็นจำนวนเต็ม) ในบรรดาวิธีคำนวณเปอร์เซ็นไทล์ของโปรแกรมสถิติต่าง ๆ วิธีนี้จัดอยู่ในนิยามที่ 7^[2] เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า

\hat x_q = W_{(\lfloor h \rfloor + 1)} + (h - \lfloor h \rfloor)\big(W_{(\lfloor h \rfloor + 2)} - W_{(\lfloor h \rfloor + 1)}\big)

ค่ามัธยฐานคือ $q = 50$ บนกราฟ แถบนอกครอบคลุมตั้งแต่ $q = 10$ ถึง $q = 90$ และแถบในตั้งแต่ $q = 25$ ถึง $q = 75$ แถบของแต่ละเดือนคำนวณแยกกัน ขอบของแถบจึงไม่ได้เดินตามเส้นทางใดเส้นทางหนึ่ง

สัดส่วนคือจำนวนเส้นทางที่เข้าเงื่อนไขหารด้วย $N$ อัตราความสำเร็จของเครื่องจำลองการถอนใช้คือสัดส่วนของเส้นทางที่เงินอยู่ได้จนถึงสิ้นสุดช่วงเวลา

\hat p = \frac{\text{จำนวนเส้นทางที่เข้าเงื่อนไข}}{N}

ดรอว์ดาวน์ (drawdown) คือระยะที่ยอดเงินอยู่ต่ำกว่าค่าสูงสุดที่เคยไปถึง ค่าสูงสุดเริ่มนับจากเงินลงทุนเริ่มต้น และยอดเงินรวมเงินลงทุนรายเดือนที่ใส่เข้าไปแล้ว (ในมุมมองที่แท้จริง วัดจากยอดเงินที่แท้จริง)

D_t = \frac{W_t}{\max\big(W_0, \max_{s \le t} W_s\big)} - 1

$D_t$ ที่ลึกที่สุดตลอดเส้นทางคือดรอว์ดาวน์สูงสุดของเส้นทางนั้น

$\hat x_q$ และ $\hat p$ ทุกตัวในที่นี้บรรยาย 1,000 เส้นทางที่แบบจำลองสร้างขึ้น จะเพิ่มจำนวนเส้นทางเท่าใดก็บอกไม่ได้ว่าแบบจำลองตรงกับโลกจริงหรือไม่

ที่ 1,000 เส้นทาง ค่ามัธยฐานขยับได้ไม่กี่เปอร์เซ็นต์

เมื่อจำนวนเส้นทาง (จำนวนครั้งที่ทดลอง) มีจำกัด จุดตั้งต้นของตัวเลขสุ่มที่ต่างกัน (ซีด หรือ seed) ก็ให้ผลต่างกันเล็กน้อย สูตรบอกได้ว่าต่างกันมากแค่ไหน

สัดส่วน $\hat p$ นับว่าเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็น $p$ เกิดขึ้นบ่อยเพียงใดในการทดลอง $N$ ครั้ง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของมัน (ค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐาน หรือ standard error) จึงเป็น

\mathrm{SE}(\hat p) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}

สำหรับอัตราความสำเร็จ 90% ค่านี้คือ $\sqrt{0.9 \times 0.1 / 1000} \approx 0.0095$ หรือค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานราว 0.95 จุดเปอร์เซ็นต์ ภายในราวสองเท่าของค่านี้ทั้งขึ้นและลง คือประมาณ 88% ถึง 92% อัตรานี้ขยับได้จากความบังเอิญเพียงอย่างเดียว

เปอร์เซ็นไทล์ก็มีสูตรคล้ายกัน ถ้า $f(x_q)$ คือความหนาแน่นของการแจกแจงยอดเงินที่เปอร์เซ็นไทล์นั้น (เส้นทางกระจุกตัวรอบจำนวนเงินนั้นหนาแน่นเพียงใด)

\mathrm{SE}(\hat x_q) \approx \frac{1}{f(x_q)}\sqrt{\frac{q'(1-q')}{N}}, \qquad q' = q/100

ที่ปลายหางซึ่งเส้นทางอยู่ห่างกัน $f$ มีค่าน้อย ความคลาดเคลื่อนจึงมากกว่า ทั้งสองสูตรลดลงตาม $\tfrac{1}{\sqrt{N}}$ ถ้าจะลดความคลาดเคลื่อนลงครึ่งหนึ่งจึงต้องใช้เส้นทางมากขึ้นสี่เท่า

เพื่อให้เห็นว่าความคลาดเคลื่อนนี้ใหญ่แค่ไหน เราคำนวณแบบเดียวกับเครื่องจำลองมอนติคาร์โล ซ้ำ 50 รอบ โดยเปลี่ยนเพียงซีด ใช้ S&P 500 (SPY รวมเงินปันผล แบบจำลองปรับให้เข้ากับข้อมูลย้อนหลังทั้งหมดตั้งแต่ปี 1993) เป็นดอลลาร์สหรัฐตามตัวเงิน ลงทุนเดือนละ 1 ดอลลาร์เป็นเวลา 20 ปี (เงินต้น 240 ดอลลาร์)

ยอดเงินหลัง 20 ปี	ค่าเฉลี่ยของ 50 รอบ (เท่าของเงินต้น)	การกระจายเมื่อใช้ 1,000 เส้นทาง	การกระจายเมื่อใช้ 250 เส้นทาง
เปอร์เซ็นไทล์ที่ 10	1.7 เท่า	3.0%	4.1%
ค่ามัธยฐาน	3.5 เท่า	2.5%	5.5%
เปอร์เซ็นไทล์ที่ 90	7.6 เท่า	3.1%	6.5%

การกระจายในที่นี้คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผล 50 รอบหารด้วยค่าเฉลี่ยของผลเหล่านั้น เมื่อใช้ 1,000 เส้นทาง ค่ามัธยฐานหลัง 20 ปีขยับจากรอบหนึ่งไปอีกรอบราว 2.5% ค่ามัธยฐานจาก 1,000 เส้นทางจึงควรอ่านโดยเผื่อความคลาดเคลื่อนไม่กี่เปอร์เซ็นต์นี้ไว้

ลองตรวจแบบเดียวกันกับสัดส่วน สัดส่วนของเส้นทางที่ดรอว์ดาวน์สูงสุดลึกถึง −30% หรือลึกกว่า มีค่าเฉลี่ยตลอด 50 รอบที่ 21.3% ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในตารางถัดไปคือระยะที่สัดส่วนนั้นเองขยับ หน่วยเป็นจุดเปอร์เซ็นต์

สัดส่วนที่ดรอว์ดาวน์สูงสุดถึง −30% หรือลึกกว่า	1,000 เส้นทาง	250 เส้นทาง
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่วัดได้จาก 50 รอบ	1.5%	2.8%
สูตร $\sqrt{p(1-p)/N}$	1.3%	2.6%

สำหรับสัดส่วน ค่าที่วัดได้กับค่าจากสูตรเกือบตรงกัน เมื่อใช้เส้นทางเพียงหนึ่งในสี่ การกระจายของตัวชี้วัดส่วนใหญ่เพิ่มขึ้นราวสองเท่า แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่วัดจาก 50 รอบเองก็ไม่แน่นอนราวหนึ่งในสิบ อัตราส่วนของสองค่านั้นยิ่งไม่แน่นอนกว่า บางแถวจึงห่างจากสองเท่าไปมาก อย่างแถวเปอร์เซ็นไทล์ที่ 10 ในตารางแรก

แต่ละเส้นทางจะสุ่มผลตอบแทนเฉลี่ยของแบบจำลองและโอกาสสลับภาวะชุดของตัวเองใหม่ก่อน แล้วจึงสุ่มแต่ละเดือน เส้นทางยังเป็นอิสระต่อกัน กฎ $\tfrac{1}{\sqrt{N}}$ จึงใช้ได้ตามเดิม

ซีดคือวันที่ของวันนั้น

ซีดของเครื่องจำลองคือวันที่ที่เปิดหน้า (ตาม UTC) ในรูปตัวเลขแปดหลัก $\text{YYYYMMDD}$ ตัวสร้างเลขสุ่มเทียมขนาดเล็กชื่อ mulberry32 แปลงตัวเลขนี้เป็นเลขสุ่มแบบสม่ำเสมอในช่วง $[0, 1)$ แล้วใช้ไปตามลำดับตั้งแต่เส้นทางแรก ใครก็ตามที่เปิดหน้าในวันเดียวกันด้วยการตั้งค่าเดียวกันจะได้ 1,000 เส้นทางชุดเดียวกัน

เมื่อเปิดหน้าในวันอื่น ซีดจะเปลี่ยน หน้าจึงสุ่ม 1,000 เส้นทางชุดใหม่ (หน้าที่เปิดค้างไว้ยังใช้ซีดเดิมแม้เลยเที่ยงคืนไปแล้ว) การทดลองข้างต้นก็เปลี่ยนเพียงซีดตลอด 50 รอบ ค่ามัธยฐานที่ขยับไม่กี่เปอร์เซ็นต์จากวันหนึ่งไปอีกวันจึงอยู่ในช่วงการกระจายที่วัดได้ในการทดลองนั้น ความต่างที่มากกว่านั้นมากมาจากการเปลี่ยนการตั้งค่าหรือข้อมูลย้อนหลังที่ใช้ปรับแบบจำลอง หรือจากการอัปเดตข้อมูลซึ่งทำให้ปรับแบบจำลองใหม่

สินทรัพย์ผสมและสกุลเงินรวมเป็นตัวคูณการเติบโตตัวเดียว

สำหรับสินทรัพย์ตัวเดียว $e^{X_t}$ ในสมการเวียนเกิดมาจากผลตอบแทนแบบลอการิทึมรายเดือน $X_t$ ของสินทรัพย์นั้น สำหรับพอร์ตที่ผสมหลายสินทรัพย์ โดยให้น้ำหนัก $w_a$ กับสินทรัพย์ $a$ (น้ำหนักรวมกันเท่ากับ 1) และปรับสมดุลกลับสู่น้ำหนักเหล่านั้นทุกเดือน ตัวคูณการเติบโตคือ

G_t = \sum_a w_a\, e^{X_{a,t}}

เครื่องจำลองพอร์ตโฟลิโอ (เมื่อไม่ซื้อด้วยมาร์จิน) และเครื่องจำลองการถอนใช้ใส่ $G_t$ นี้ลงในสมการเวียนเกิดแทน $e^{X_t}$

เมื่อดูเป็นสกุลเงินอื่นที่ไม่ใช่ดอลลาร์ เช่น เงินบาท และเปิด “รวมความผันผวนค่าเงิน” ไว้ (ค่าเริ่มต้น) การเปลี่ยนแปลงรายเดือนของมูลค่าเป็นดอลลาร์ของเงินสกุลนั้นหนึ่งหน่วยจะถูกสุ่มจากแบบจำลองไปพร้อมกับสินทรัพย์ ถ้า $X_{u,t}$ คือการเปลี่ยนแปลงแบบลอการิทึมของมัน ตัวคูณการเติบโตในสกุลเงินนั้นคือ $G_t / e^{X_{u,t} - m_u}$ โดย $m_u$ คือการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยระยะยาวของอัตราแลกเปลี่ยนในแบบจำลองที่ปรับให้เข้ากับข้อมูลย้อนหลัง แนวโน้มระยะยาวของอัตราแลกเปลี่ยนไม่จำเป็นต้องดำเนินต่อไป จึงตัดส่วนนี้ออก เหลือไว้เพียงการแกว่งและจังหวะเวลาของการแกว่ง

การสุ่ม $X_t$ และ $X_{a,t}$ โดยสลับไปมาระหว่างภาวะสงบกับภาวะผันผวน อธิบายไว้ในมอนติคาร์โล ซิมูเลชันคืออะไร

ความคลาดเคลื่อนบางส่วนไม่ลดลงแม้เพิ่มเส้นทาง

การกระจายข้างต้นเกิดจากการคำนวณเส้นทางจำนวนจำกัดจากแบบจำลองที่กำหนดไว้ เส้นทางที่มากขึ้นทำให้มันเล็กลง แต่มีสองอย่างที่ไม่เปลี่ยนไม่ว่าจะคำนวณกี่เส้นทาง

อย่างแรกคือแบบจำลองผลตอบแทน การที่ $X_t$ มาจากแบบจำลองใดเปลี่ยนตัวการแจกแจงเอง และแบบจำลองที่ปรับให้เข้ากับข้อมูลย้อนหลังแทบไม่สร้างตลาดที่ไม่เหมือนตลาดใดในข้อมูลนั้นเลย

อย่างที่สองคือสิ่งที่การคำนวณไม่ได้รวมไว้ ไม่มีการหักภาษี ค่าธรรมเนียมการซื้อขาย และค่าธรรมเนียมบัญชี (ค่าใช้จ่ายของ ETF เองรวมอยู่ในผลตอบแทนแล้ว) เงินลงทุนรายเดือนคงที่ตลอดช่วงเวลา และราคาสินค้าเพิ่มขึ้นในอัตราคงที่

สมมติฐานเหล่านี้เปลี่ยนผลลัพธ์ได้มากกว่าความคลาดเคลื่อนไม่กี่เปอร์เซ็นต์ของ 1,000 เส้นทางมาก ด้วยการตั้งค่าเดียวกับการทดลองข้างต้น เปลี่ยนเพียงข้อมูลย้อนหลังที่ใช้ปรับแบบจำลอง และคำนวณ 1,000 เส้นทางครั้งเดียวด้วยซีดเดียวกัน ค่ามัธยฐานหลัง 20 ปีคือ 3.4 เท่าของเงินต้นเมื่อใช้ข้อมูลย้อนหลังทั้งหมด และ 4.1 เท่าเมื่อใช้ข้อมูลย้อนหลัง 5 ปีล่าสุด ช่องว่างนี้กว้างกว่าการกระจายที่มาจากจำนวนเส้นทาง (2.5%) มาก

แหล่งที่มา

Metropolis, N. & Ulam, S. (1949). The Monte Carlo method. Journal of the American Statistical Association, 44(247), 335–341. doi:10.1080/01621459.1949.10483310
Hyndman, R. J. & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365. doi:10.1080/00031305.1996.10473566