compoundsimMonte-Carlo-Simulation: Formeln und Fehler bei 1.000 Pfaden
Die Mathematik einer Monte-Carlo-Simulation für den Sparplan: die monatliche Rekursion, Perzentile und Erfolgsquoten und wie stark 1.000 Pfade schwanken.
Aktualisiert
Die Mathematik einer Monte-Carlo-Simulation für den Sparplan: die monatliche Rekursion, Perzentile und Erfolgsquoten und wie stark 1.000 Pfade schwanken.
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Eine Monte-Carlo-Simulation findet eine Antwort, indem sie einen Zufallsversuch viele Male wiederholt und auszählt, wie sich die Ergebnisse verteilen.[1] Bei einem Anlageplan schreibt jeder Versuch ein Guthaben Monat für Monat mit einer Formel fort (einer Rekursion), wobei die Rendite jedes Monats zufällig gezogen wird, bis zum letzten Monat. In compoundsim durchläuft ein Pfad diesen Monatsschritt bei einem Plan über 20 Jahre 240-mal, und der Simulator rechnet 1.000 Pfade. Ein Median aus 1.000 Pfaden verschiebt sich nur um wenige Prozent, wenn sich die Zufallszahlen ändern, und auch ein Anteil bewegt sich wenig. Viel stärker verändert die Ergebnisse, wie die Monatsrenditen gezogen werden.
Dieser Artikel lässt das Renditemodell beiseite und schreibt die Rechnung, die alle Modelle gemeinsam haben, in Formeln aus. Dasselbe ohne Mathematik erklärt „Monte-Carlo-Simulation für den ETF-Sparplan einfach erklärt“.
Die Monate sind mit nummeriert, ist das Guthaben am Ende von Monat und die monatliche Sparrate. Der Zinseszinsrechner mit fester Rendite rechnet die Jahresrendite , verstanden als effektiver Jahressatz, in einen monatlichen Wachstumsfaktor um und wendet jeden Monat denselben an:
Eine Monte-Carlo-Simulation ersetzt dieses durch einen Wachstumsfaktor , der jeden Monat zufällig gezogen wird. Dabei ist die Log-Rendite des Monats (nächster Abschnitt):
Die Sparrate kommt am Monatsende dazu, nach der Rendite des Monats, in derselben Reihenfolge wie bei der festen Rendite. Nimmt man den Zufall heraus, stimmen beide Rechnungen überein. Ein Plan über 20 Jahre hat , und ein Durchgang durch alle 240 Monate ist ein Pfad. Der Simulator rechnet 1.000 davon.
Der Entnahmerechner geht andersherum vor: Die Entnahme wird zu Beginn des Monats abgezogen, danach wächst der Rest. Die Entnahme beginnt bei einem Zwölftel des Betrags im ersten Jahr und steigt jeden Monat mit der Inflation:
Im ersten Monat, in dem eine Entnahme das Guthaben auf null oder darunter drückt, ist das Geld auf diesem Pfad aufgebraucht, und er bleibt danach bei null.
Der Monte-Carlo-Simulator in der Ansicht „Real“ und der Entnahmerechner immer teilen das Guthaben durch das Preisniveau zum jeweiligen Zeitpunkt. Bei einer angenommenen jährlichen Inflationsrate (standardmäßig 2 %) ist das reale Guthaben in Monat gleich . Die Preise steigen mit dieser festen Rate; Zufallszahlen spielen dabei keine Rolle.
Ist die einfache Rendite des Monats (0,05 für 5 %), dann ist ihre Log-Rendite . Das Modell des Simulators ist an vergangene Monatsrenditen angepasst, die vorher in Logarithmen umgerechnet wurden. In Logarithmen wird das Wachstum über viele Monate zu einer Summe. Mit einem Startkapital und ohne Sparrate gilt
Die Summe der nähert sich mit wachsender Zahl der Monate einer symmetrischen Verteilung. Schreibt man für den Erwartungswert (den Mittelwert), liegt ihr Median deshalb etwa bei und der Median des Guthabens etwa bei . Weil aber nach oben gekrümmt ist, fällt der Mittelwert des Guthabens höher aus (). Einige sehr gute Pfade ziehen den Mittelwert nach oben und bewegen den Median kaum.
Der Median ist also die Kennzahl, auf die diese wenigen Pfade kaum Einfluss haben. Den Abstand zwischen einer einfachen Durchschnittsrendite und der Rate, mit der Geld tatsächlich wächst (Volatility Drag), behandelt der Abschnitt „Die Durchschnittsrendite ist nicht die Wachstumsrate“. Mit monatlicher Sparrate hat die Formel nicht mehr diese Form, aber der Mittelwert landet aus demselben Grund über dem Median.
Man sortiert die Guthaben der 1.000 Pfade in einem bestimmten Monat aufsteigend, mit . Das -te Perzentil ist der Wert auf Rang . Ist keine ganze Zahl, wird der Wert auf der Geraden zwischen den beiden benachbarten Pfaden abgelesen ( ist , auf eine ganze Zahl abgerundet). Unter den Verfahren, mit denen Statistikprogramme Perzentile berechnen, ist es das als Definition 7 eingeordnete.[2] In Formeln:
Der Median ist . Im Diagramm reicht das äußere Band von bis , das innere von bis . Das Band wird für jeden Monat einzeln berechnet, seine Kante folgt also keinem bestimmten Pfad.
Ein Anteil ist die Zahl der Pfade, die eine Bedingung erfüllen, geteilt durch . Die Erfolgsquote des Entnahmerechners ist der Anteil der Pfade, deren Geld bis zum Ende reichte:
Ein Drawdown gibt an, wie weit das Guthaben unter dem höchsten bis dahin erreichten Wert liegt. Der Höchststand beginnt beim Startkapital, und das Guthaben enthält die eingezahlten Sparraten (in der Ansicht „Real“ wird am realen Guthaben gemessen):
Der tiefste Wert von entlang eines Pfads ist dessen tiefster Drawdown.
Jedes und jedes beschreibt hier die 1.000 Pfade, die das Modell erzeugt hat. Ob das Modell zur Wirklichkeit passt, lässt sich mit keiner Zahl von Pfaden klären.
Bei einer endlichen Zahl von Pfaden (Versuchen) liefert ein anderer Ausgangspunkt für die Zufallszahlen (der Zufallsstartwert, Seed) leicht andere Ergebnisse. Wie stark, lässt sich mit Formeln abschätzen.
Ein Anteil zählt, wie oft etwas mit der Wahrscheinlichkeit in Versuchen eingetreten ist. Seine Standardabweichung (der Standardfehler) ist deshalb
Bei einer Erfolgsquote von 90 % sind das , ein Standardfehler von etwa 0,95 Prozentpunkten. Im Bereich von etwa dem Doppelten nach oben und unten, also ungefähr zwischen 88 % und 92 %, kann sich die Quote allein durch Zufall bewegen.
Für Perzentile gibt es eine ähnliche Formel. Ist die Dichte der Verteilung des Guthabens an diesem Perzentil (wie dicht sich die Pfade um diesen Betrag drängen), dann gilt
An den Rändern der Verteilung, wo nur wenige Pfade liegen, ist klein und der Fehler größer. Beide Formeln schrumpfen mit : Um den Fehler zu halbieren, braucht man viermal so viele Pfade.
Um die Größenordnung zu zeigen, haben wir dieselbe Rechnung wie im Monte-Carlo-Simulator 50-mal ausgeführt und dabei nur den Seed geändert: der S&P 500 (SPY, mit reinvestierten Dividenden, das Modell an seine gesamte Historie seit 1993 angepasst), in nominalen US-Dollar, 1 Dollar im Monat über 20 Jahre (240 Dollar eingezahlt).
| Guthaben nach 20 Jahren | Mittelwert aus 50 Läufen (Vielfaches der Einzahlungen) | Streuung bei 1.000 Pfaden | Streuung bei 250 Pfaden |
|---|---|---|---|
| 10. Perzentil | 1,7× | 3,0 % | 4,1 % |
| Median | 3,5× | 2,5 % | 5,5 % |
| 90. Perzentil | 7,6× | 3,1 % | 6,5 % |
Die Streuung ist die Standardabweichung der 50 Ergebnisse geteilt durch ihren Mittelwert. Mit 1.000 Pfaden verschiebt sich der Median nach 20 Jahren von Lauf zu Lauf um etwa 2,5 %. Einen Median aus 1.000 Pfaden liest man deshalb am besten mit diesen wenigen Prozent Spielraum.
Dieselbe Prüfung für einen Anteil: Der Anteil der Pfade, deren tiefster Drawdown −30 % oder tiefer erreichte, lag im Mittel der 50 Läufe bei 21,3 %. Die Standardabweichungen in der nächsten Tabelle geben an, wie weit sich dieser Anteil selbst bewegt, in Prozentpunkten.
| Anteil mit tiefstem Drawdown von −30 % oder tiefer | 1.000 Pfade | 250 Pfade |
|---|---|---|
| Standardabweichung, gemessen über 50 Läufe | 1,5 % | 2,8 % |
| Die Formel | 1,3 % | 2,6 % |
Beim Anteil stimmen gemessene Streuung und Formel nahezu überein. Mit einem Viertel der Pfade verdoppelt sich die Streuung bei den meisten Kennzahlen ungefähr. Eine aus 50 Läufen gemessene Standardabweichung ist aber selbst um etwa ein Zehntel unsicher, das Verhältnis zweier solcher Werte noch stärker. Manche Zeilen liegen deshalb deutlich neben dem Doppelten, so wie die Zeile des 10. Perzentils in der ersten Tabelle.
Jeder Pfad zieht zuerst seine eigene Variante der Durchschnittsrenditen des Modells und der Wahrscheinlichkeiten für einen Regimewechsel und erst danach seine Monate. Die Pfade bleiben trotzdem voneinander unabhängig, die -Regel gilt also unverändert.
Der Seed des Simulators ist das Datum, an dem die Seite geöffnet wurde (UTC), als achtstellige Zahl . Ein kleiner Pseudozufallsgenerator namens mulberry32 macht daraus gleichverteilte Zahlen in , die der Reihe nach ab dem ersten Pfad verwendet werden. Wer die Seite am selben Tag mit denselben Einstellungen öffnet, bekommt dieselben 1.000 Pfade.
An einem anderen Tag ändert sich der Seed, und die Seite zieht 1.000 neue Pfade (eine offene Seite behält ihren Seed auch über Mitternacht hinaus). Das Experiment oben hat über seine 50 Läufe ebenfalls nur den Seed geändert. Verschiebt sich der Median von einem Tag auf den nächsten um wenige Prozent, liegt das also innerhalb der dort gemessenen Streuung. Deutlich größere Unterschiede kommen von geänderten Einstellungen, von einer anderen Historie, an die das Modell angepasst wird, oder von einer Datenaktualisierung, nach der das Modell neu angepasst wird.
Bei einer einzelnen Anlage stammt das in der Rekursion aus ihrer monatlichen Log-Rendite . Bei einer Mischung mit dem Gewicht auf Anlage (die Gewichte summieren sich zu 1), die jeden Monat auf diese Gewichte zurückgesetzt wird, ist der Wachstumsfaktor
Der Portfolio-Simulator (ohne Kauf auf Kredit) und der Entnahmerechner setzen dieses anstelle von in die Rekursion ein.
Rechnet man in einer anderen Währung als dem Dollar, etwa in Euro oder Franken, und ist „Wechselkurs einrechnen“ aktiv (die Voreinstellung), zieht das Modell zusammen mit den Anlagen auch die monatliche Veränderung des Dollarwerts einer Einheit dieser Währung. Ist ihre Log-Veränderung, beträgt der Wachstumsfaktor in dieser Währung . Dabei ist die langfristige durchschnittliche Veränderung des Wechselkurses im Modell, das an die Historie angepasst ist. Der langfristige Trend eines Wechselkurses muss nicht anhalten, deshalb wird er herausgerechnet; übrig bleiben die Schwankungen und ihr Zeitpunkt.
Wie die und gezogen werden, im Wechsel zwischen einem ruhigen und einem wilden Regime, erklärt der Abschnitt „So macht es der Simulator von compoundsim“ im Grundlagenartikel zur Monte-Carlo-Simulation.
Die Streuung oben entsteht, weil aus einem gegebenen Modell nur endlich viele Pfade gerechnet werden, und mehr Pfade machen sie kleiner. Zwei Dinge bleiben gleich, egal wie viele Pfade laufen.
Das eine ist das Renditemodell. Aus welchem Modell die stammen, verändert die Verteilung selbst, und ein an die Historie angepasstes Modell erzeugt selten Märkte, die anders sind als alle, die darin vorkommen.
Das andere ist, was die Rechnung auslässt. Steuern, Ordergebühren und Depotkosten werden nicht abgezogen (die laufenden Kosten der ETFs stecken in ihren Renditen). Die Sparrate bleibt über die ganze Laufzeit gleich, und die Preise steigen mit einer festen Rate.
Diese Annahmen verschieben die Ergebnisse weit stärker als die wenigen Prozent, um die 1.000 Pfade schwanken. Mit denselben Einstellungen wie im Experiment oben, nur mit einer anderen Historie für das Modell und je einem Lauf mit 1.000 Pfaden auf demselben Seed, liegt der Median nach 20 Jahren mit der gesamten Historie beim 3,4-Fachen der Einzahlungen und mit den letzten 5 Jahren beim 4,1-Fachen. Dieser Abstand ist weit größer als die Streuung, die von der Zahl der Pfade kommt (2,5 %).