compoundsimFórmulas de la simulación de Monte Carlo y su error
Las fórmulas de una simulación de Monte Carlo de aportaciones mensuales: la recurrencia del saldo, percentiles, tasa de éxito y cuánto varían 1.000 trayectorias.
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Las fórmulas de una simulación de Monte Carlo de aportaciones mensuales: la recurrencia del saldo, percentiles, tasa de éxito y cuánto varían 1.000 trayectorias.
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Una simulación de Monte Carlo encuentra una respuesta repitiendo muchas veces un experimento aleatorio y contando cómo se distribuyen los resultados.[1] En un plan de inversión, el experimento lleva el saldo hacia delante mes a mes con una fórmula que lo actualiza (una relación de recurrencia), con la rentabilidad de cada mes generada al azar, hasta el último mes. En compoundsim, cada trayectoria repite ese paso mensual 240 veces en un plan a 20 años, y el simulador calcula 1.000 trayectorias. Una mediana obtenida de 1.000 trayectorias varía solo un pequeño porcentaje cuando cambian los números aleatorios, y una proporción también se mueve poco. Lo que mueve mucho más los resultados es cómo se generan las rentabilidades mensuales.
Este artículo deja de lado el modelo de rentabilidades y escribe en fórmulas la aritmética que comparten todos los modelos. La misma explicación sin matemáticas está en «Simulación de Monte Carlo para invertir, explicada sin fórmulas».
Numeramos los meses ; es el saldo al final del mes y la aportación mensual. La calculadora de interés compuesto a tasa fija convierte la rentabilidad anual , tomada como tasa efectiva, en un factor de crecimiento mensual y aplica el mismo cada mes:
Una simulación de Monte Carlo cambia ese por un factor de crecimiento generado al azar cada mes, donde es la rentabilidad logarítmica del mes (siguiente sección):
La aportación llega al final del mes, después de la rentabilidad del mes, en el mismo orden que el cálculo a tasa fija; si se quita el azar, los dos coinciden. Un plan a 20 años tiene , y un recorrido completo por los 240 meses es una trayectoria. El simulador calcula 1.000.
El simulador de retiros funciona al revés: el retiro sale al inicio del mes y lo que queda crece después. El retiro empieza en una doceava parte de la cantidad del primer año y sube con la inflación cada mes:
El primer mes en que un retiro deja el saldo en cero o por debajo, la trayectoria se ha quedado sin dinero, y sigue en cero.
El simulador de Monte Carlo en términos reales, y el de retiros siempre, dividen el saldo por el nivel de precios de cada momento. Con una inflación anual supuesta (2 % por defecto), el saldo real del mes es . Los precios suben a ese ritmo constante; en ellos no entra ningún número aleatorio.
Si es la rentabilidad simple del mes (0,05 para un 5 %), su rentabilidad logarítmica es . El modelo del simulador se ajusta a las rentabilidades mensuales pasadas, convertidas a logaritmos. En logaritmos, el crecimiento de muchos meses se convierte en una suma. Con un capital inicial y sin aportaciones,
La suma de las se acerca a una distribución simétrica a medida que se acumulan los meses, así que, escribiendo para el valor esperado (la media), su mediana es aproximadamente y la mediana del saldo es aproximadamente . Pero se curva hacia arriba, así que la media del saldo sale más alta que eso (). Unas pocas trayectorias muy buenas suben la media y apenas mueven la mediana.
La mediana es la cifra que esas pocas trayectorias apenas alteran. La diferencia entre la rentabilidad media simple y la tasa a la que el dinero crece de verdad (el lastre de la volatilidad, en inglés volatility drag) se explica en «La rentabilidad media no es la tasa a la que crece tu dinero». Con aportaciones mensuales la fórmula deja de tener esta forma, pero la media sigue quedando por encima de la mediana por la misma razón.
Ordenamos de menor a mayor los saldos de las 1.000 trayectorias en un mes dado, con . El percentil es el valor en la posición ; cuando no es un número entero, se lee sobre la recta que une las dos trayectorias de cada lado ( es redondeado hacia abajo a un entero). Entre las formas en que los programas estadísticos calculan percentiles, esta es la que se clasifica como definición 7.[2] En símbolos:
La mediana es . En el gráfico, la banda exterior va de a y la interior de a . La banda de cada mes se calcula por separado, así que su borde no sigue a ninguna trayectoria concreta.
Una proporción es el número de trayectorias que cumplen una condición, dividido por . La tasa de éxito del simulador de retiros es la proporción de trayectorias cuyo dinero duró hasta el final:
Una caída (drawdown) es cuánto está el saldo por debajo del valor más alto que había alcanzado. El máximo parte del capital inicial, y el saldo incluye las aportaciones hechas (en términos reales, se mide sobre el saldo real):
El más profundo a lo largo de una trayectoria es su caída máxima.
Cada y cada de esta sección describen las 1.000 trayectorias que produjo el modelo. Ningún número de trayectorias puede decir si el modelo se ajusta al mundo real.
Con un número finito de trayectorias (experimentos), otro punto de partida para los números aleatorios (la semilla) da resultados algo distintos. Las fórmulas dicen cuánto.
Una proporción cuenta cuántas veces ocurrió en intentos algo con probabilidad , así que su desviación típica (el error estándar) es
Para una tasa de éxito del 90 % eso da , un error estándar de unos 0,95 puntos porcentuales. Dentro de aproximadamente el doble hacia cada lado, más o menos del 88 % al 92 %, la tasa puede moverse solo por azar.
Los percentiles tienen una fórmula parecida. Si es la densidad de la distribución del saldo en ese percentil (cuánto se agrupan las trayectorias alrededor de esa cantidad),
En las colas, donde hay pocas trayectorias, es pequeña y el error es mayor. Las dos fórmulas se reducen como , así que reducir el error a la mitad exige cuatro veces más trayectorias.
Para ver su tamaño, repetimos 50 veces el mismo cálculo que hace el simulador de Monte Carlo, cambiando solo la semilla: el S&P 500 (SPY, dividendos reinvertidos, con el modelo ajustado a todo su historial desde 1993), en dólares estadounidenses nominales, un dólar al mes durante 20 años (240 $ aportados).
| Saldo a los 20 años | Media de 50 ejecuciones (múltiplo del capital aportado) | Dispersión con 1.000 trayectorias | Dispersión con 250 trayectorias |
|---|---|---|---|
| Percentil 10 | 1,7× | 3,0 % | 4,1 % |
| Mediana | 3,5× | 2,5 % | 5,5 % |
| Percentil 90 | 7,6× | 3,1 % | 6,5 % |
La dispersión es la desviación típica de los 50 resultados dividida por su media. Con 1.000 trayectorias, la mediana a 20 años se mueve en torno a un 2,5 % de una ejecución a otra, así que conviene leer una mediana de 1.000 trayectorias con ese pequeño porcentaje de margen.
La misma comprobación con una proporción: la proporción de trayectorias cuya caída máxima fue del −30 % o peor promedió, en las 50 ejecuciones, el 21,3 %. Las desviaciones típicas de la tabla siguiente miden cuánto se mueve esa misma proporción, en puntos porcentuales.
| Proporción con una caída máxima del −30 % o peor | 1.000 trayectorias | 250 trayectorias |
|---|---|---|
| Desviación típica medida en 50 ejecuciones | 1,5 % | 2,8 % |
| La fórmula | 1,3 % | 2,6 % |
En la proporción, la dispersión medida y la fórmula casi coinciden. Con una cuarta parte de las trayectorias, la dispersión aproximadamente se duplica en la mayoría de las medidas. Pero una desviación típica medida con 50 ejecuciones tiene a su vez una incertidumbre de alrededor de una décima parte, y el cociente de dos de ellas más aún, así que algunas filas quedan bastante lejos del doble, como la del percentil 10 en la primera tabla.
Cada trayectoria vuelve a generar primero su propia versión de las rentabilidades medias del modelo y de sus probabilidades de cambiar de régimen, y después genera sus meses. Aun así, las trayectorias son independientes entre sí, de modo que la regla de se cumple tal cual.
La semilla del simulador es la fecha en que se abrió la página (UTC) como un número de ocho cifras, . Un pequeño generador pseudoaleatorio, mulberry32, la convierte en números uniformes en , que se usan en orden a partir de la primera trayectoria. Quien abra la página el mismo día con los mismos ajustes obtiene las mismas 1.000 trayectorias.
Si abres la página otro día, la semilla cambia y la página genera 1.000 trayectorias nuevas (una página que sigue abierta conserva su semilla pasada la medianoche). El experimento de arriba también cambió solo la semilla en sus 50 ejecuciones, así que una mediana que varía un pequeño porcentaje de un día a otro está dentro de la dispersión que se midió allí. Las diferencias mucho mayores vienen de cambiar los ajustes o el historial al que se ajusta el modelo, o de una actualización de datos que vuelve a ajustarlo.
Para un solo activo, el de la recurrencia sale de la rentabilidad logarítmica mensual de ese activo. Para una mezcla, con un peso en el activo (los pesos suman 1) y reequilibrada a esos pesos cada mes, el factor de crecimiento es
El simulador de cartera (sin margen) y el de retiros ponen este en la recurrencia en lugar de .
Vista en una moneda distinta del dólar con «Incluir el tipo de cambio» activado (la opción por defecto), la variación del mes en el valor en dólares de una unidad de esa moneda se genera con el modelo junto con los activos. Si es su variación logarítmica, el factor de crecimiento en esa moneda es , donde es la variación media a largo plazo del tipo de cambio en el modelo ajustado al historial. La tendencia a largo plazo de un tipo de cambio no tiene por qué continuar, así que se elimina y quedan las oscilaciones y su momento.
Cómo se generan las y las , alternando entre un régimen tranquilo y un régimen turbulento, se explica en «Simulación de Monte Carlo para invertir, explicada sin fórmulas».
La dispersión de arriba viene de calcular un número finito de trayectorias a partir de un modelo dado, y más trayectorias la reducen. Dos cosas siguen igual por muchas trayectorias que se calculen.
Una es el modelo de rentabilidades. De qué modelo salen las cambia la propia distribución, y un modelo ajustado al historial rara vez produce mercados distintos de todos los que hay en él.
La otra es lo que el cálculo deja fuera. No se descuentan impuestos, comisiones de compraventa ni gastos de la cuenta (los gastos propios de los ETF están en sus rentabilidades). Las aportaciones son iguales durante todo el plazo y los precios suben a un ritmo constante.
Esos supuestos mueven los resultados mucho más que el pequeño porcentaje en que varían 1.000 trayectorias. Con los mismos ajustes que el experimento de arriba, cambiando solo el historial al que se ajusta el modelo y calculando 1.000 trayectorias una vez con la misma semilla, la mediana a 20 años es 3,4× el capital aportado con todo el historial y 4,1× con los últimos 5 años: una diferencia mucho mayor que la dispersión debida al número de trayectorias (2,5 %).