Simulation de Monte-Carlo pour investir, expliquée sans maths
Simulation de Monte-Carlo de versements mensuels : comment on tire les rendements futurs, comment lire les résultats et pourquoi les hypothèses comptent.
Mis à jour
Une simulation de Monte-Carlo se sert de nombres aléatoires pour dérouler des milliers d'avenirs possibles et montre à quel point leurs résultats s'écartent. Pour un investissement programmé, elle répond à la question « combien aurai-je dans 20 ans ? » non par un montant mais par une fourchette : à peu près tant au milieu, à peu près tant dans le pire cas sur dix. La largeur de cette fourchette dépend beaucoup de la façon dont les rendements futurs ont été tirés. Une simulation n'est pas une prévision : elle décrit ce qui pourrait arriver sous les hypothèses que vous lui donnez.
Ce qu'un taux fixe laisse de côté
Un simulateur d'intérêts composés à taux fixe fait croître votre argent au même taux chaque mois. À 5 % par an, cela fait environ 0,41 %, tous les mois sans exception. Avec cette hypothèse, peu importe quand arrive une mauvaise année ou combien de temps elle dure.
Les marchés réels peuvent afficher les mêmes 5 % en moyenne tout en montant et en baissant en chemin. Une forte baisse dans les premières années, quand vous avez encore peu versé, ne laisse pas du tout le même montant final que la même baisse dans les dernières années, quand le solde est élevé. Une seule courbe à taux fixe ne peut pas montrer cette différence.
Le même plan de versements mensuels, dessiné comme une courbe à taux fixe et comme huit trajectoires qui montent et descendent. Une illustration, pas un résultat de simulation.
Une simulation de Monte-Carlo se fait en trois étapes
Décider comment tirer les rendements mensuels : fixer des règles sur la croissance moyenne de l'argent et sur l'ampleur de ses variations.
Recommencer des milliers de fois : tirer au hasard le rendement de chaque mois selon ces règles et calculer le solde mois après mois jusqu'à la fin du plan. Chaque passage donne un avenir possible, appelé trajectoire. C'est comme relancer les dés des milliers de fois.
Lire les résultats comme une distribution : trier les soldes finaux de toutes les trajectoires et y lire le résultat du milieu, le bas de la fourchette et la part des trajectoires qui ont atteint un objectif.
Le calcul lui-même est simple. La confiance qu'on peut accorder aux résultats dépend presque entièrement de la première étape.
Il existe trois grandes façons de tirer les rendements futurs
Selon une loi normale : on choisit seulement une moyenne et l'ampleur des variations, et on tire chaque mois indépendamment des autres. C'est la méthode la plus simple, mais elle produit rarement les très fortes baisses mensuelles des marchés réels, et elle ignore que les fortes variations y arrivent en grappes : un mois agité est souvent suivi d'autres mois agités.[1] Les résultats du bas et les baisses en cours de route paraissent donc souvent trop favorables.
En rééchantillonnant des mois passés : pour chaque mois, on prend au hasard l'un des rendements mensuels réellement observés.[2] Les fortes baisses reviennent aussi souvent que dans l'historique, mais mélanger les mois casse les séries, comme un krach qui dure plusieurs mois.[3]
En alternant entre des régimes de marché : on passe d'un régime calme, où les cours bougent doucement, à un régime agité, où ils varient fortement. Une fois dans le régime agité, le modèle y reste en général un moment : les mauvais mois ont donc tendance à se suivre, et les actions baissent plus souvent ensemble quand les marchés se tendent.[4] On appelle ces modèles des modèles à changement de régime.[5]
Les trois méthodes reposent sur des données passées. Elles diffèrent par ce qu'elles reportent du passé sur l'avenir.
Lire les résultats, et deux erreurs courantes
Médiane : le résultat du milieu parmi toutes les trajectoires. La moitié des trajectoires finit au-dessus, l'autre moitié en dessous. Elle est plus proche d'un résultat typique que la moyenne, que quelques trajectoires très bonnes tirent vers le haut.
La bande du 10e au 90e percentile : une trajectoire sur dix finit sous son bord inférieur, et une sur dix au-dessus de son bord supérieur. Plus la bande est large, plus l'issue d'un même plan peut varier.
Part des trajectoires qui atteignent un objectif : par exemple, « l'argent a duré dans 90 % des trajectoires ».
Deux erreurs reviennent souvent. La première consiste à lire la médiane comme ce qui va arriver : un plan bâti sur la médiane reste en dessous dans la moitié des trajectoires. La seconde consiste à lire « 90 % » comme la probabilité que cela se produise dans la réalité. Cela veut dire que 90 % des trajectoires du modèle se sont déroulées ainsi ; changez les hypothèses et la part change.
Les résultats dépendent beaucoup des hypothèses
Le rendement retenu : un point de pourcentage de plus ou de moins par an sur le rendement moyen change beaucoup le solde au bout de 20 ans.
La période d'historique : un modèle ajusté sur une période qui s'est bien passée par hasard suppose que les bons moments vont durer. Plus l'historique est court, plus même l'estimation du rendement moyen devient incertaine.
Séries de pertes et actifs qui bougent ensemble : selon que le modèle laisse ou non les mauvais mois se regrouper et les actions baisser ensemble quand les marchés se tendent, la profondeur des baisses en cours de route change, et dans une moindre mesure le bas de la bande.
Frais, impôts, inflation et devise : les inclure ou non change ce que les résultats disent de ce que vous garderez réellement.
Quand vous utilisez un simulateur, vérifiez ces hypothèses avant de regarder ses chiffres.
Comment fait le simulateur de compoundsim
Le simulateur Monte-Carlo d'investissement programmé utilise la troisième méthode, l'alternance de régimes, pour tirer 1 000 trajectoires. Chaque mois, il peut passer, avec des probabilités fixes, d'un régime calme, où les cours bougent doucement, à un régime agité, où ils varient fortement, et inversement. Dans le modèle ajusté sur l'historique complet (le S&P 500 depuis 1993), le S&P 500 en dollars américains a tendance à monter dans le régime calme et à baisser dans le régime agité. Voici les deux régimes :
Mesure
Régime calme
Régime agité
Part des mois sur le long terme
Environ 85 %
Environ 15 %
Durée moyenne une fois entré
Environ 18,6 mois
Environ 3,3 mois
Volatilité du S&P 500 (USD, annualisée)
Environ 13 %
Environ 21 %
En dollars américains, le S&P 500 varie environ 1,6 fois plus dans le régime agité que dans le régime calme, et une fois ce régime commencé, il dure en moyenne environ 3,3 mois. C'est pourquoi certaines trajectoires enchaînent les pertes et chutent fortement en cours de route.
Une trajectoire, avec ses mois en régime agité grisés. Dans le régime agité, les mois de baisse sont plus fréquents et les baisses plus fortes que dans le régime calme. Une illustration, pas un résultat de simulation.
Tous les actifs partagent le même régime, et leur façon de bouger ensemble change d'un régime à l'autre. Une corrélation proche de 1 signifie que deux actifs évoluent dans le même sens ; proche de 0, qu'ils évoluent indépendamment l'un de l'autre.
La période d'historique : vous pouvez la choisir. Chaque trajectoire fait légèrement varier les rendements moyens et les probabilités de changer de régime, dans les limites compatibles avec l'historique. Un historique plus court laisse plus de marge, si bien que la bande a tendance à s'élargir. Comparez les 5 dernières années d'historique avec l'historique complet pour voir la différence.
Les données : sauf pour le Bitcoin, chaque indice est représenté par les cours ajustés des dividendes d'un ETF en dollars américains qui le réplique (SPY pour le S&P 500). Les frais propres des ETF sont déjà pris en compte dans ces cours.
Devise et inflation : la page en français affiche les résultats en euros (les francs suisses, les dollars canadiens et d'autres devises sont proposés) et inclut alors par défaut les variations de l'euro face au dollar. La tendance de long terme du taux de change est retirée, car elle pourrait ne pas se poursuivre. Les trajectoires diffèrent donc du tableau en dollars ci-dessus. Le rendement et la volatilité de l'historique complet qu'affiche le simulateur ne commencent en euros qu'en 1999, quand débutent les données de change. Si vous choisissez une devise sans historique de change, ce sont les rendements en dollars des fonds qui servent, comme si le taux n'avait jamais bougé. La vue Réel montre les résultats en valeur d'aujourd'hui, après inflation (2 % par an par défaut).
La graine aléatoire : la date (UTC) à laquelle vous ouvrez la page. Tous ceux qui l'ouvrent le même jour voient les mêmes résultats ; rouvrez-la le lendemain et elle tire 1 000 nouvelles trajectoires.
Ce qu'une simulation de Monte-Carlo ne dit pas
Des marchés sans précédent : toutes les méthodes reposent sur des données passées, donc un type de marché qui ne s'est jamais produit ne peut pas apparaître.
Des marasmes qui durent des années : dans le modèle de ce site, le régime agité se termine en général en quelques mois, si bien qu'un long marasme comme celui de 2007 à 2009 sort moins souvent que l'historique ne le laisse attendre. Les résultats du bas peuvent être optimistes.
Les impôts et vos propres frais : les impôts et les frais facturés par votre propre compte, comme les frais de courtage, ne sont pas inclus.
Sources
Cont, R. (2001). Empirical properties of asset returns: Stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance, 1(2), 223–236. doi:10.1080/713665670
Efron, B. (1979). Bootstrap methods: Another look at the jackknife. The Annals of Statistics, 7(1), 1–26. doi:10.1214/aos/1176344552
Künsch, H. R. (1989). The jackknife and the bootstrap for general stationary observations. The Annals of Statistics, 17(3), 1217–1241. doi:10.1214/aos/1176347265
Ang, A. & Bekaert, G. (2002). International asset allocation with regime shifts. The Review of Financial Studies, 15(4), 1137–1187. doi:10.1093/rfs/15.4.1137
Hamilton, J. D. (1989). A new approach to the economic analysis of nonstationary time series and the business cycle. Econometrica, 57(2), 357–384. doi:10.2307/1912559
compoundsim