Simulação de Monte Carlo para investimentos, sem fórmulas
Como funciona uma simulação de Monte Carlo de aportes mensais: como os retornos futuros são sorteados, como ler o resultado e por que as premissas pesam tanto.
Atualizado
Uma simulação de Monte Carlo usa números aleatórios para testar milhares de futuros possíveis e mostra o quanto os resultados se espalham. Num plano de aportes mensais, ela responde a “quanto vou ter daqui a 20 anos?” não com um valor, mas com uma faixa: mais ou menos isto no meio, mais ou menos aquilo no pior caso a cada dez. A largura dessa faixa depende muito de como os retornos futuros foram sorteados. Uma simulação não é uma previsão: ela mapeia o que pode acontecer sob as premissas que você der a ela.
O que uma taxa fixa deixa de fora
Uma calculadora de juros compostos com taxa fixa faz seu dinheiro crescer à mesma taxa todo mês. A 5% ao ano, isso dá cerca de 0,41% em todos os meses, sem exceção. Com essa premissa, não faz diferença quando vem um ano ruim nem quanto tempo ele dura.
Os mercados reais podem ter a mesma média de 5% subindo e caindo pelo caminho. Uma queda forte nos primeiros anos, quando você aportou pouco, termina num valor final bem diferente da mesma queda nos últimos anos, quando o saldo já é grande. Uma única linha de taxa fixa não consegue mostrar essa diferença.
O mesmo plano mensal desenhado como uma linha de taxa fixa e como oito trajetórias que sobem e descem. É uma ilustração, não um resultado de simulação.
Uma simulação de Monte Carlo tem três passos
Definir como os retornos mensais são sorteados: estabelecer regras para quanto o dinheiro cresce em média e quanto ele oscila.
Repetir milhares de vezes: sortear o retorno de cada mês segundo essas regras e calcular o saldo mês a mês até o fim do plano. Cada rodada é um futuro possível, chamado de trajetória. É como jogar os dados de novo milhares de vezes.
Ler os resultados como uma distribuição: ordenar o saldo final de todas as trajetórias e ler o resultado do meio, a ponta de baixo e a parcela de trajetórias que atingiram uma meta.
A conta é simples. O quanto você pode confiar nos resultados depende quase só do primeiro passo.
Há três formas principais de sortear retornos futuros
A partir de uma distribuição normal: escolhem-se apenas uma média e o tamanho das oscilações, e cada mês é sorteado de forma independente. É o método mais simples, mas raramente produz as quedas mensais muito grandes que os mercados reais têm, e não capta que, nos mercados reais, as grandes oscilações vêm agrupadas: um mês agitado costuma ser seguido por outros meses agitados.[1] Por isso, os resultados baixos e as quedas no meio do plano tendem a parecer bons demais.
Reamostrando meses passados: para cada mês, escolhe-se ao acaso um dos retornos mensais que de fato ocorreram.[2] As grandes quedas aparecem com a mesma frequência que tiveram na história, mas embaralhar os meses desfaz sequências como um crash que dura vários meses.[3]
Alternando entre regimes de mercado: alterna-se entre um regime calmo, em que os preços se movem pouco, e um regime turbulento, em que oscilam com força. Quando o modelo entra no regime turbulento, tende a ficar nele por um tempo, então os meses ruins tendem a vir em sequência e as ações ficam mais propensas a cair juntas quando o mercado se agita.[4] Modelos assim são chamados de modelos de mudança de regime.[5]
Os três são construídos com dados passados. O que muda é quais características do passado cada um leva para o futuro.
Como ler os resultados, e dois erros comuns
Mediana: o resultado do meio entre todas as trajetórias. Metade termina acima dela e metade abaixo. Fica mais perto de um resultado típico do que a média, que algumas trajetórias muito boas puxam para cima.
A faixa do percentil 10 ao 90: uma trajetória em cada dez termina abaixo da borda inferior, e uma em cada dez acima da borda superior. Quanto mais larga a faixa, mais o resultado do mesmo plano pode variar.
Parcela de trajetórias que atingem uma meta: por exemplo, “o dinheiro durou em 90% das trajetórias”.
Dois erros são comuns. O primeiro é ler a mediana como o que vai acontecer: se você planeja pela mediana, metade das trajetórias fica abaixo dela. O segundo é ler “90%” como a probabilidade de aquilo acontecer na vida real. Significa que 90% das trajetórias do modelo terminaram assim; mude as premissas e a parcela muda.
O resultado depende muito das premissas
A rentabilidade que você supõe: mudar o retorno médio em um ponto percentual ao ano faz uma grande diferença no saldo depois de 20 anos.
O período do histórico: se o modelo for ajustado só a um período que por acaso foi bom, ele supõe que os bons tempos vão continuar. Quanto mais curto o histórico, mais incerta fica até a estimativa do retorno médio.
Sequências de perdas e ativos que se movem juntos: permitir ou não que os meses ruins se agrupem e que as ações caiam juntas em mercados agitados muda a profundidade das quedas no meio do plano e, em menor grau, a ponta de baixo da faixa.
Taxas, impostos, inflação e moeda: incluí-los ou não muda quanto, segundo os resultados, de fato fica com você.
Quando usar um simulador, confira essas premissas antes de olhar os números.
Como o simulador do compoundsim faz isso
O simulador Monte Carlo de investimentos usa a terceira forma, a mudança de regime, para sortear 1.000 trajetórias. A cada mês ele pode passar, com probabilidades fixas, de um regime calmo, em que os preços se movem pouco, para um regime turbulento, em que oscilam com força, ou o contrário. No modelo ajustado ao histórico completo (o S&P 500 desde 1993), o S&P 500 em dólares americanos tende a subir no regime calmo e a cair no turbulento. Os dois regimes são assim:
Medida
Regime calmo
Regime turbulento
Parcela dos meses no longo prazo
Cerca de 85%
Cerca de 15%
Permanência média depois que começa
Cerca de 18,6 meses
Cerca de 3,4 meses
Volatilidade do S&P 500 (USD, anualizada)
Cerca de 13%
Cerca de 21%
Em dólares americanos, o S&P 500 oscila cerca de 1,6 vezes mais no regime turbulento do que no calmo, e esse regime, depois que começa, dura em média cerca de 3,4 meses. Por isso algumas trajetórias sofrem uma perda atrás da outra e caem bastante no meio do caminho.
Uma trajetória, com os meses de regime turbulento sombreados em cinza. No regime turbulento, os meses de queda são mais frequentes e as quedas maiores do que no regime calmo. É uma ilustração, não um resultado de simulação.
Todos os ativos compartilham o mesmo regime, e a forma como se movem juntos muda de um regime para o outro. Uma correlação perto de 1 significa que dois ativos andam na mesma direção; perto de 0, que se movem de forma independente.
O período do histórico: você pode escolher. Cada trajetória varia um pouco os retornos médios e as chances de mudar de regime, dentro do que o histórico permite. Um histórico mais curto permite mais variação, então a faixa tende a ficar mais larga. Compare os últimos 5 anos de histórico com o histórico completo para ver a diferença.
Os dados: exceto no Bitcoin, cada índice é representado pelos preços ajustados por dividendos de um ETF em dólar que o acompanha (SPY para o S&P 500). As despesas dos próprios ETFs já estão refletidas nesses preços.
Moeda e inflação: a página em português mostra os resultados em reais e, por padrão, inclui as oscilações do real frente ao dólar, sem a tendência de longo prazo do câmbio, já que ela pode não continuar. Em reais, as trajetórias incluem também as oscilações do câmbio, por isso os números diferem da tabela em dólares acima; com o histórico completo, o retorno e a volatilidade históricos que o simulador informa começam em 1995, quando começa o histórico do câmbio. Se você escolher uma moeda sem histórico de câmbio no site, são usados os retornos dos fundos em dólar, como se o câmbio nunca tivesse mudado. A aba “Real” mostra os resultados corrigidos pela inflação, em dinheiro de hoje (2% ao ano por padrão).
A semente aleatória: a data (UTC) em que você abre a página. Todo mundo que abre no mesmo dia vê os mesmos resultados; abra de novo no dia seguinte e ela sorteia 1.000 trajetórias novas.
O que uma simulação de Monte Carlo não consegue dizer
Mercados diferentes de todos os anteriores: todos os métodos são construídos com dados passados, então um tipo de mercado que nunca aconteceu não pode aparecer.
Crises que duram anos: no modelo deste site, o regime turbulento costuma acabar em poucos meses, então uma crise longa como a de 2007 a 2009 aparece menos do que a história sugere. Os resultados baixos podem ser otimistas.
Impostos e os seus próprios custos: não entram os impostos nem os custos da sua conta, como as taxas de corretagem.
Fontes
Cont, R. (2001). Empirical properties of asset returns: Stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance, 1(2), 223–236. doi:10.1080/713665670
Efron, B. (1979). Bootstrap methods: Another look at the jackknife. The Annals of Statistics, 7(1), 1–26. doi:10.1214/aos/1176344552
Künsch, H. R. (1989). The jackknife and the bootstrap for general stationary observations. The Annals of Statistics, 17(3), 1217–1241. doi:10.1214/aos/1176347265
Ang, A. & Bekaert, G. (2002). International asset allocation with regime shifts. The Review of Financial Studies, 15(4), 1137–1187. doi:10.1093/rfs/15.4.1137
Hamilton, J. D. (1989). A new approach to the economic analysis of nonstationary time series and the business cycle. Econometrica, 57(2), 357–384. doi:10.2307/1912559
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