蒙特卡洛模拟的计算公式与 1,000 条路径的误差

蒙特卡洛模拟是一种把随机试验重复很多次、统计结果如何分布来求得答案的方法。^[1]用于投资计划时，每次试验用一个按月更新余额的公式（递推公式）逐月往后推算，每个月的收益率随机抽取，一直推到最后一个月。在 compoundsim 中，20 年的计划每条路径要走 240 次这样的月度更新，模拟器共运行 1,000 条路径。用 1,000 条路径求出的中位数，换一组随机数也只变动百分之几，比例的变动也很小。真正让结果大幅变化的，是每月收益率怎么抽取。

本文先不谈收益率模型，而是用公式写出所有模型共用的计算。不用公式的同类讲解，见蒙特卡洛模拟在投资中如何运作。

余额按月递推

把月份编号为 $t = 1, 2, \dots, T$，记第 $t$ 个月末的余额为 $W_t$，每月投入为 $c$。固定收益率的定投复利计算器把年化收益率 $r$ 当作有效年利率，换算成每月的增长倍数，每个月都乘以同一个数：

$$W_t = W_{t-1}\,(1+r)^{1/12} + c$$

蒙特卡洛模拟把其中的 $(1+r)^{1/12}$ 换成每个月随机抽取的增长倍数 $e^{X_t}$，其中 $X_t$ 是当月的对数收益率（见下一节）：

$$W_t = W_{t-1}\,e^{X_t} + c, \qquad W_0 = \text{初始投资额}$$

每月投入在月末、当月收益之后加入，顺序与固定收益率的计算相同；去掉随机性，两者结果一致。20 年的计划 $T = 240$，把这 240 个月走完一遍就是一条路径。模拟器计算 1,000 条。

取用模拟器的顺序相反：月初先取出，剩下的再增长。取用金额 $d_t$ 从第一年金额的十二分之一开始，每月随通胀上调：

$$W_t = (W_{t-1} - d_t)\,e^{X_t}$$

某个月的取用让余额降到零或以下时，这条路径就算资金用完，之后一直为零。

蒙特卡洛模拟器选择“实际”时，以及取用模拟器在任何时候，都会用当时的物价水平去除余额。设预期通胀率为年 $i$（默认 2%），第 $t$ 个月的实际余额就是 $W_t / (1+i)^{t/12}$。物价按这个固定比率上涨，不涉及随机数。

用对数收益率看，中位数为什么低于平均值

设 $R_t$ 为当月的简单收益率（5% 记作 0.05），它的对数收益率是 $X_t = \ln(1+R_t)$。模拟器的模型是把过去的月度收益率换成对数之后拟合的。用对数表示，多个月的增长就变成了求和。只有初始投资、没有每月投入时：

$$W_T = W_0 \exp\!\Big(\sum_{t=1}^{T} X_t\Big)$$

随着月数增加，$X_t$ 之和的分布越来越接近对称。记 $\mathrm{E}[\cdot]$ 为期望值（平均值），则这个和的中位数约为 $T\,\mathrm{E}[X_t]$，余额的中位数约为 $W_0\,e^{T\,\mathrm{E}[X_t]}$。但 $e^x$ 是向上弯曲的，所以余额的平均值会比这个数更高（$\mathrm{E}[e^{X}] \ge e^{\mathrm{E}[X]}$）。少数非常好的路径会把平均值拉高，却几乎不影响中位数。

中位数就是不太受这几条路径左右的数字。简单平均收益率与资金实际增长速度之间的差距（波动率拖累），见平均收益率不等于资金增长的速度。有每月投入时，公式不再是这个形式，但出于同样的原因，平均值仍然高于中位数。

中位数、区间和成功率都从 1,000 条路径中统计

把 1,000 条路径在某个月的余额从小到大排列，记作 $W_{(1)} \le W_{(2)} \le \dots \le W_{(N)}$，其中 $N = 1000$。第 $q$ 百分位取排位 $h = (q/100)(N-1)$ 处的值；$h$ 不是整数时，就在它两侧的两条路径之间按直线插值（$\lfloor h \rfloor$ 表示把 $h$ 向下取整）。在统计软件计算百分位的各种方法中，这是被归为“定义 7”的那一种。^[2]写成公式：

$$\hat x_q = W_{(\lfloor h \rfloor + 1)} + (h - \lfloor h \rfloor)\big(W_{(\lfloor h \rfloor + 2)} - W_{(\lfloor h \rfloor + 1)}\big)$$

中位数是 $q = 50$。图表上外层区间是 $q = 10$ 到 $q = 90$，内层区间是 $q = 25$ 到 $q = 75$。每个月的区间都单独计算，所以区间的边缘并不沿着某一条路径走。

比例是满足某个条件的路径数除以 $N$。取用模拟器的成功率，就是资金撑到最后的路径占比：

$$\hat p = \frac{\text{满足条件的路径数}}{N}$$

回撤是余额低于此前所达最高值的幅度。最高值从初始投资额开始算，余额也包含已经投入的钱（看实际值时，用实际余额来衡量）：

$$D_t = \frac{W_t}{\max\big(W_0, \max_{s \le t} W_s\big)} - 1$$

一条路径上最深的 $D_t$，就是这条路径的最大回撤。

这里的每个 $\hat x_q$ 和 $\hat p$，描述的都是模型生成的 1,000 条路径。模型是否符合现实，路径再多也无法判断。

1,000 条路径的中位数会变动百分之几

路径（试验）的数量有限，所以换一个随机数的起点（种子），结果就会略有不同。变动有多大，可以用公式估算。

比例 $\hat p$ 是把概率为 $p$ 的事件试了 $N$ 次后统计出来的，所以它的标准差（标准误差）是

$$\mathrm{SE}(\hat p) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}$$

成功率为 90% 时，这个值是 $\sqrt{0.9 \times 0.1 / 1000} \approx 0.0095$，标准误差约 0.95 个百分点。上下大约两倍的范围内，也就是大致 88% 到 92%，成功率可能只因偶然而变动。

百分位也有类似的公式。设 $f(x_q)$ 为余额分布在该百分位处的密度（路径在这个金额附近聚集得有多密），则

$$\mathrm{SE}(\hat x_q) \approx \frac{1}{f(x_q)}\sqrt{\frac{q'(1-q')}{N}}, \qquad q' = q/100$$

在路径稀疏的尾部，$f$ 较小，误差较大。两个公式都按 $\tfrac{1}{\sqrt{N}}$ 缩小，所以要把误差减半，需要四倍的路径。

为了看清它有多大，我们把与蒙特卡洛模拟器相同的计算运行了 50 次，只改变种子。条件是：标普 500（SPY，股息再投资，模型拟合自 1993 年以来的全部历史），美元名义值，每月 1 美元，持续 20 年（共投入 240 美元）。

变动是 50 次结果的标准差除以它们的平均值。用 1,000 条路径时，20 年后的中位数每次运行会变动约 2.5%，所以读 1,000 条路径的中位数时，最好把它看作带有百分之几的误差。

对比例也做了同样的检验：最大回撤达到 −30% 或更深的路径占比，50 次的平均值为 21.3%。下表中的标准差，是这个比例本身变动的幅度，单位为百分点。

对于比例，实测的变动与公式几乎一致。路径减少到四分之一，大多数指标的变动大约翻倍。不过，用 50 次运行测出的标准差本身就有约一成的不确定性，两者之比的不确定性更大，所以有些行会明显偏离两倍，比如第一张表的第10百分位那一行。

每条路径先自行重新抽取模型的平均收益率和状态切换的概率，然后再抽取各个月份。路径之间仍然相互独立，所以 $\tfrac{1}{\sqrt{N}}$ 的规律照样成立。

种子是当天的日期

模拟器的种子是打开页面那天的日期（UTC），写成八位数 $\text{YYYYMMDD}$。一个叫 mulberry32 的小型伪随机数生成器把它变成 $[0, 1)$ 上的均匀随机数，从第一条路径开始依次使用。同一天、同样的设置，谁打开页面都会得到同样的 1,000 条路径。

换一天打开页面，种子就变了，页面会重新抽取 1,000 条路径（页面一直开着的话，过了午夜种子也不变）。上面的实验在 50 次运行中也只改变了种子，所以中位数在两天之间变动百分之几，仍在那里测出的变动范围之内。比这大得多的差异，来自改变设置或模型拟合的历史数据，或者数据更新后模型重新拟合。

资产组合和货币都归结为一个增长倍数

单一资产时，递推公式中的 $e^{X_t}$ 来自该资产的月度对数收益率 $X_t$。对于组合，设资产 $a$ 的比例为 $w_a$（比例之和为 1），每月再平衡回这些比例，增长倍数为

$$G_t = \sum_a w_a\, e^{X_{a,t}}$$

投资组合模拟器（不使用融资买入时）和取用模拟器，都把这个 $G_t$ 代替 $e^{X_t}$ 放进递推公式。

以美元以外的货币来看、并打开“计入汇率波动”（默认）时，该货币一个单位的美元价值在当月的变化，会和各资产一起从模型中抽取。记其对数变化为 $X_{u,t}$，则以该货币计的增长倍数为 $G_t / e^{X_{u,t} - m_u}$，其中 $m_u$ 是拟合历史的模型中汇率的长期平均变化。汇率的长期趋势未必会延续，所以把它去掉，只保留波动及其发生的时间。

$X_t$ 和 $X_{a,t}$ 如何在平静状态与动荡状态之间切换着抽取，见蒙特卡洛模拟在投资中如何运作。

有些误差不会随路径增加而缩小

上面的变动来自用给定的模型运行有限条路径，路径越多，变动越小。但有两样东西，无论跑多少条路径都不会变。

一是收益率模型。$X_t$ 来自哪个模型，会改变分布本身；拟合历史的模型，很少会生成与历史上任何行情都不同的市场。

二是计算中没有包含的东西。税、交易手续费和账户费用都没有扣除（ETF 自身的费率已体现在收益中）。每月投入始终不变，物价按固定比率上涨。

这些假设对结果的影响，远大于 1,000 条路径百分之几的变动。在与上面实验相同的条件下，只改变模型拟合的历史数据，用同一个种子各运行一次 1,000 条路径，20 年后的中位数在全部历史下是投入本金的 3.4 倍，在最近 5 年下是 4.1 倍：差距远大于路径数带来的变动（2.5%）。